Сферическая геометрия — раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры на поверхности сферы.Сферическая геометрия возникла в древности в связи с потребностями географии и астрономии.
Содержание
Основные понятия
Через любые две точки на поверхности сферы (кроме диаметрально противоположных) можно провести единственный большой круг — окружность, образованную пересечением сферы и плоскости, проходящей через её центр. Большие круги на поверхности сферы играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Любые два больших круга пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.
При пересечении двух больших кругов образуются четыре сферических двуугольника. Площадь двуугольника определяется формулой S=2R2α{displaystyle S=2R^{2}alpha }
, где R{displaystyle R} — радиус сферы, а α{displaystyle alpha } — угол двуугольника.
, где R{displaystyle R}
— радиус сферы, а α{displaystyle alpha }
— угол двуугольника.Три больших круга, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, называется эйлеровым. Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников имеет место ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны.
Стороны сферического треугольника измеряют величиной угла, образованного радиусами сферы, проведёнными к концам данной стороны. Каждая сторона сферического треугольника меньше суммы и больше разности двух других. Сумма всех сторон сферического треугольника всегда меньше 2π{displaystyle 2pi }
. Сумма углов сферического треугольника s=α+β+γ{displaystyle s=alpha +beta +gamma } всегда меньше 3π{displaystyle 3pi } и больше π{displaystyle pi } . Величина s−π=ε{displaystyle s-pi =varepsilon } называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле Жирара S=R2ε{displaystyle S=R^{2}varepsilon } .
. Сумма углов сферического треугольника s=α+β+γ{displaystyle s=alpha +beta +gamma }
всегда меньше 3π{displaystyle 3pi }
и больше π{displaystyle pi }
. Величина s−π=ε{displaystyle s-pi =varepsilon }
называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле 
.Соотношения между элементами сферического треугольника изучает сферическая тригонометрия
Вариации и обобщения
См. Геометрия Римана
Литература
- Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 29. С. 1-146.
- Берже М. Геометрия. Пер. с франц., в 2 т. М.: Мир, 1984. Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
- Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. Л.-М., 1948.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
- Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия, — Наука, Москва, 1990.
- Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия, — УРСС, Москва, 2007.
