Сферическая геометрия

Через любые две точки на поверхности сферы (кроме диаметрально противоположных) можно провести единственный большой круг — окружность, образованную пересечением сферы и плоскости, проходящей через её центр. Большие круги на поверхности сферы играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Любые два больших круга пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.

При пересечении двух больших кругов образуются четыре сферических двуугольника. Площадь двуугольника определяется формулой ${\displaystyle S=2R^{2}\alpha }$ , где ${\displaystyle R}$  — радиус сферы, а ${\displaystyle \alpha }$  — угол двуугольника.

Три больших круга, не пересекающихся в одной точке, образуют восемь сферических треугольников. Сферический треугольник, все стороны которого меньше половины большого круга, называется эйлеровым. Помимо трёх признаков равенства плоских треугольников, для сферических треугольников имеет место ещё один: два сферических треугольника равны, если их соответствующие углы равны.

Стороны сферического треугольника измеряют величиной угла, образованного радиусами сферы, проведёнными к концам данной стороны. Каждая сторона сферического треугольника меньше суммы и больше разности двух других. Сумма всех сторон сферического треугольника всегда меньше ${\displaystyle 2\pi }$ . Сумма углов сферического треугольника ${\displaystyle s=\alpha +\beta +\gamma }$  всегда меньше ${\displaystyle 3\pi }$  и больше ${\displaystyle \pi }$ . Величина ${\displaystyle s-\pi =\varepsilon }$  называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле Жирара ${\displaystyle S=R^{2}\varepsilon }$ .

Соотношения между элементами сферического треугольника изучает сферическая тригонометрия

См. Геометрия Римана

• Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 29. С. 1-146.
• Берже М. Геометрия. Пер. с франц., в 2 т. М.: Мир, 1984. Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия, пространство сфер.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. Л.-М., 1948.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия, — Наука, Москва, 1990.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия, — УРСС, Москва, 2007.

• Сферическая система координат
• Сферические функции
• Геометрия Римана