Сфера Римана

Разделы:

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (16 июня 2011)

Сфе́ра Ри́мана — риманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости C^=C∪{∞}{displaystyle {widehat {mathbb {C} }}=mathbb {C} cup {infty }} ${widehat {mathbb {C} }}=mathbb {C} cup {infty }$ , являющаяся комплексной проективной прямой CP1{displaystyle mathbb {C} mathbb {P} ^{1}} $mathbb {C} mathbb {P} ^{1}$ . Как вещественное многообразие диффеоморфна двумерной сфере S2{displaystyle S^{2}} $S^{2}$ .

Медиафайлы на Викискладе

Содержание

1 Координаты
2 Преобразования Мёбиуса
3 Приложения
4 Внутренность сферы

Координаты

Численные координаты на сфере Римана вводятся тремя способами:

аффинная комплексная координата z, способная принимать значение ∞{displaystyle infty } $infty$ ;
проективные комплексные координаты [z0:z1]{displaystyle [z_{0}:z_{1}]} $[z_{0}:z_{1}]$ ;
трёхмерные вещественные координаты ξ,η,ζ{displaystyle xi ,eta ,zeta } $xi ,eta ,zeta$ , связанные уравнением:

ξ2+η2+(ζ−1/2)2=1{displaystyle xi ^{2}+eta ^{2}+(zeta -1/2)^{2}=1}

{displaystyle xi ^{2}+eta ^{2}+(zeta -1/2)^{2}=1}

Сфера Римана стереографической проекцией переводится на плоскость

Переход от одних координат к другим задаётся формулами:

z=z1z0{displaystyle z={frac {z_{1}}{z_{0}}}}

z={frac {z_{1}}{z_{0}}}

z0:z1=[ζ:(ξ+iη)⇐ζ>00:1⇐ζ=0{displaystyle z_{0}:z_{1}=left[{begin{matrix}zeta :(xi +ieta )&Leftarrow zeta >0\0:1&Leftarrow zeta =0end{matrix}}right.}

z_{0}:z_{1}=left[{begin{matrix}zeta :(xi +ieta )&Leftarrow zeta >0\0:1&Leftarrow zeta =0end{matrix}}right.

{ξ+iη=2z1+|z|2ζ=21+|z|2{displaystyle left{{begin{matrix}xi +ieta ={frac {2z}{1+|z|^{2}}}\zeta ={frac {2}{1+|z|^{2}}}end{matrix}}right.}

left{{begin{matrix}xi +ieta ={frac {2z}{1+|z|^{2}}}\zeta ={frac {2}{1+|z|^{2}}}end{matrix}}right.

(ξ,η,ζ)↦z{displaystyle (xi ,eta ,zeta )mapsto z}

$(xi ,eta ,zeta )mapsto z$ задаёт отображение сферы с выколотым полюсом на комплексную плоскость, которое называется стереографической проекцией.

Преобразования Мёбиуса

Автоморфизмами сферы Римана являются преобразования Мёбиуса. Пусть a,b,c,d{displaystyle a,b,c,d}

$a,b,c,d$ — матрица из GL2(C){displaystyle GL_{2}(mathbb {C} )} $GL_{2}(mathbb {C} )$ . Её действие на сфере Римана в терминах проективных комплексных координат — просто умножение вектора-столбца координат на матрицу. В аффинных координатах действие выглядит так:

z′=az+cbz+d{displaystyle z’={frac {az+c}{bz+d}}}

z'={frac {az+c}{bz+d}}

Приложения

Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.

В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.

Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также
со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон.В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту θ{displaystyle theta }

$theta$ отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч. 0<θ<π/2{displaystyle 0<theta <pi /2} $0<theta <pi /2$ (см. рис.)

В таком случае верны соотношения:

z0:z1=cos⁡θ:eiφsin⁡θ{displaystyle z_{0}:z_{1}=cos theta :e^{ivarphi }sin theta }

z_{0}:z_{1}=cos theta :e^{ivarphi }sin theta

{ξ+iη=eiφsin⁡2θζ−1=cos⁡2θ{displaystyle left{{begin{matrix}xi +ieta =e^{ivarphi }sin {2theta }\zeta -1=cos {2theta }end{matrix}}right.}

left{{begin{matrix}xi +ieta =e^{ivarphi }sin {2theta }\zeta -1=cos {2theta }end{matrix}}right.

Внутренность сферы

Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях.Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, т.е. фактически релятивистским досветовым скоростям.Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3 а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.

Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.

Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.