wiki

Сумма (математика)

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. сумма.

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество) в математике это результат операции сложение числовых величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.), либо результат последовательного выполнения нескольких операций сложения (суммирования). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

a+b=b+a{displaystyle a+b=b+a}

a + b = b + a

a+(b+c)=(a+b)+c{displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}

a + (b + c) = (a + b) + c

(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c{displaystyle (a+b)cdot c=acdot c+bcdot c}

(a+b)cdot c=acdot c+bcdot c

c⋅(a+b)=c⋅a+c⋅b{displaystyle ccdot (a+b)=ccdot a+ccdot b}

ccdot (a+b)=ccdot a+ccdot b

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Операция сложение (нахождение суммы) может быть определено для более сложных алгебраических структур. Сумма групп, сумма линейных пространств, сумма идеалов, и другие примеры. В теории категорий определяется понят
ие суммы объектов.

Table of Contents

Арифметическая сумма

Основная статья: Сложение (математика)

Пусть в первой группе A{displaystyle A}

$A$ находится a{displaystyle a} $a$ предметов некоторого рода, во второй группе B{displaystyle B} $B$ , соответственно, b{displaystyle b} $b$ предметов того-же рода (a и b — натуральные числа). Тогда арифметической суммой a+b{displaystyle a+b} $a+b$ будет количество предметов c{displaystyle c} $c$ в группе C{displaystyle C} $C$ , полученной при дизъюнктном объединении двух исходных групп.

Алгебраическая сумма

Сумму математически обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма).

∑i=⁡mnai=am+am+1+am+2+⋯+an−1+an{displaystyle sum _{imathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+cdots +a_{n-1}+a_{n}}

{displaystyle sum _{imathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+cdots +a_{n-1}+a_{n}}

где: i — индекс суммирования; ai — переменная, обозначающая каждый член в серии; m — нижняя граница суммирования, n — верхняя граница суммирования. Обозначение «i = m» под символом суммирования означает, что начальное (стартовое) значение индекса i эквивалентно m. Из этой записи следует, что индекс i инкрементируется на 1 в каждом члене выражения, и остановится когда i = n.[1]

В программировании данной процедуре соответствует цикл for.

Примеры записи

∑i=⁡1100i=1+2+3+4+…+99+100{displaystyle sum _{imathop {=} 1}^{100}i=1+2+3+4+…+99+100}

{displaystyle sum _{imathop {=} 1}^{100}i=1+2+3+4+...+99+100}

∑i=⁡36i2=32+42+52+62=86.{displaystyle sum _{imathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}

{displaystyle sum _{imathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}

Указание границ может опускаться из записи, если они ясны из контекста:

∑ai2=∑i=⁡1nai2.{displaystyle sum a_{i}^{2}=sum _{imathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}.}

{displaystyle sum a_{i}^{2}=sum _{imathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}.}

Итератор может быть выражением, тогда переменная оформляется со скобками как функция «f(){displaystyle f()}

$f()$ ». Например, сумма всех натуральных чисел k{displaystyle k} $k$ в определённом диапазоне:

∑0≤k<100f(k){displaystyle sum _{0leq k<100}f(k)}

{displaystyle sum _{0leq k<100}f(k)}

Сумма f(x){displaystyle f(x)}

$f(x)$ элементов x{displaystyle x} $x$ множества S{displaystyle S} $S$ :

∑x∈⁡Sf(x){displaystyle sum _{xmathop {in } S}f(x)}

{displaystyle sum _{xmathop {in } S}f(x)}

Сумма μ(d){displaystyle mu (d)}

${displaystyle mu (d)}$ всех положительных чисел d{displaystyle d} $d$ делящихся на n{displaystyle n} $n$ :

∑d|nμ(d){displaystyle sum _{d|n};mu (d)}

{displaystyle sum _{d|n};mu (d)}

Несколько символов сигма могут обобщать, например:

∑ℓ,ℓ′=∑ℓ∑ℓ′{displaystyle sum _{ell ,ell ‘}=sum _{ell }sum _{ell ‘}}

{displaystyle sum _{ell ,ell '}=sum _{ell }sum _{ell '}}

Бесконечная сумма

В математическом анализе определяется понятие ряда — суммы бесконечного числа слагаемых.

Примеры

1. Сумма арифметической прогрессии:

∑i=0n(a0+b⋅i)=(n+1)a0+an2{displaystyle sum _{i=0}^{n}(a_{0}+bcdot i)=(n+1){frac {a_{0}+a_{n}}{2}}}

sum _{{i=0}}^{ n}(a_{0}+bcdot i)=(n+1){frac {a_{0}+a_{n}}{2}}

2. Сумма геометрической прогрессии:

∑i=0na0⋅bi=a0⋅1−bn+11−b{displaystyle sum _{i=0}^{n}a_{0}cdot b^{i}=a_{0}cdot {frac {1-b^{n+1}}{1-b}}}

sum _{{i=0}}^{n}a_{0}cdot b^{i}=a_{0}cdot {frac {1-b^{{n+1}}}{1-b}}

3.∑k=1nk3=[n(n+1)2]2=(∑k=1nk)2{displaystyle sum limits _{k=1}^{n}k^{3}=left[{frac {n(n+1)}{2}}right]^{2}=left(sum limits _{k=1}^{n}kright)^{2}}

$sum limits _{{k=1}}^{n}k^{3}=left[{frac {n(n+1)}{2}}right]^{2}=left(sum limits _{{k=1}}^{n}kright)^{2}$

4. ∑i=0n(1p)i=pp−1(1−1pn+1),p≠1,n≥0{displaystyle sum _{i=0}^{n}{left({frac {1}{p}}right)}^{i}={frac {p}{p-1}}left(1-{frac {1}{p^{n+1}}}right),quad pneq 1,ngeq 0}

$sum _{{i=0}}^{n}{left({frac {1}{p}}right)}^{i}={frac {p}{p-1}}left(1-{frac {1}{p^{{n+1}}}}right),quad pneq 1,ngeq 0$ Почему это так

∑i=0n(1p)i=∑i=0n1⋅1pi=1⋅1−(1p)n+11−1p=pn+1−1pn+1p−1p=pn+1−1pn(p−1)=pp−1(1−1pn+1){displaystyle sum _{i=0}^{n}{left({frac {1}{p}}right)}^{i}=sum _{i=0}^{n}{1cdot {frac {1}{p^{i}}}}=1cdot {frac {1-{left({frac {1}{p}}right)}^{n+1}}{1-{frac {1}{p}}}}={frac {frac {p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{frac {p-1}{p}}}={frac {p^{n+1}-1}{p^{n}(p-1)}}={frac {p}{p-1}}left(1-{frac {1}{p^{n+1}}}right)}

sum _{{i=0}}^{n}{left({frac {1}{p}}right)}^{i}=sum _{{i=0}}^{n}{1cdot {{frac {1}{p^{i}}}}}=1cdot {frac {1-{left({frac {1}{p}}right)}^{{n+1}}}{1-{frac {1}{p}}}}={frac {{frac {p^{{n+1}}-1}{p^{{n+1}}}}}{{frac {p-1}{p}}}}={frac {p^{{n+1}}-1}{p^{n}(p-1)}}={frac {p}{p-1}}left(1-{frac {1}{p^{{n+1}}}}right)

5. ∑i=0nipi=npn+2−(n+1)pn+1+p(p−1)2,p≠1{displaystyle sum _{i=0}^{n}ip^{i}={frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},quad pneq 1}

$sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={frac {np^{{n+2}}-(n+1)p^{{n+1}}+p}{(p-1)^{2}}},quad pneq 1$ Почему это так

Доказательство:

∑i=0nipi=∑i=1nipi=p⋅∑i=1nipi−1=p⋅∑i=0n−1(i+1)pi=p⋅(∑i=0n−1ipi+∑i=0n−1pi)=p⋅∑i=0nipi−p⋅npn+p⋅1−pn1−p⇒{displaystyle sum _{i=0}^{n}ip^{i}=sum _{i=1}^{n}ip^{i}=pcdot sum _{i=1}^{n}ip^{i-1}=pcdot sum _{i=0}^{n-1}(i+1)p^{i}=pcdot left(sum _{i=0}^{n-1}{ip^{i}}+sum _{i=0}^{n-1}p^{i}right)=pcdot sum _{i=0}^{n}ip^{i}-pcdot np^{n}+pcdot {frac {1-p^{n}}{1-p}}Rightarrow }

sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}=sum _{{i=1}}^{n}ip^{i}=pcdot sum _{{i=1}}^{n}ip^{{i-1}}=pcdot sum _{{i=0}}^{{n-1}}(i+1)p^{i}=pcdot left(sum _{{i=0}}^{{n-1}}{ip^{i}}+sum _{{i=0}}^{{n-1}}p^{i}right)=pcdot sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}-pcdot np^{n}+pcdot {frac {1-p^{n}}{1-p}}Rightarrow

⇒(1−p)∑i=0nipi=−npn+1(1−p)+p−pn+11−p⇒∑i=0nipi=npn+2−(n+1)pn+1+p(1−p)2{displaystyle Rightarrow (1-p)sum _{i=0}^{n}ip^{i}={frac {-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p}}Rightarrow sum _{i=0}^{n}ip^{i}={frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}}

Rightarrow (1-p)sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={frac {-np^{{n+1}}(1-p)+p-p^{{n+1}}}{1-p}}Rightarrow sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={frac {np^{{n+2}}-(n+1)p^{{n+1}}+p}{(1-p)^{2}}}

6. ∑i=0npi=(p−1)∑i=0n−1((n−i)pi)+n+1,p≠1{displaystyle sum _{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,quad pneq 1}

$sum _{{i=0}}^{n}p^{i}=(p-1)sum _{{i=0}}^{{n-1}}((n-i)p^{i})+n+1,quad pneq 1$ Почему это так

Доказательство:

(p−1)∑i=0n−1((n−i)pi)+n+1=(p−1)∑i=0n((n−i)pi)+n+1=(p−1)(n⋅∑i=0npi−∑i=0nipi)+n+1={displaystyle (p-1)sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)sum _{i=0}^{n}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)left(ncdot sum _{i=0}^{n}p^{i}-sum _{i=0}^{n}ip^{i}right)+n+1=}

(p-1)sum _{{i=0}}^{{n-1}}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)sum _{{i=0}}^{n}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)left(ncdot sum _{{i=0}}^{n}p^{i}-sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}right)+n+1=

=(p−1)(n⋅1−pn+11−p−npn+2−(n+1)pn+1+p(1−p)2)+n+1={displaystyle =(p-1)left(ncdot {frac {1-p^{n+1}}{1-p}}-{frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}right)+n+1=}

=(p-1)left(ncdot {frac {1-p^{{n+1}}}{1-p}}-{frac {np^{{n+2}}-(n+1)p^{{n+1}}+p}{(1-p)^{2}}}right)+n+1=

=npn+2−np−npn+1+n−npn+2+npn+1+pn+1−p+pn−n+p−1p−1={displaystyle ={frac {np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=}

={frac {np^{{n+2}}-np-np^{{n+1}}+n-np^{{n+2}}+np^{{n+1}}+p^{{n+1}}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=

=pn+1−1p−1=∑i=0npi{displaystyle ={frac {p^{n+1}-1}{p-1}}=sum _{i=0}^{n}p^{i}}

={frac {p^{{n+1}}-1}{p-1}}=sum _{{i=0}}^{n}p^{i}

Стоит заметить, что при p=10 {displaystyle p=10 }

p=10

получаем ∑i=0n10i=9⋅∑i=0n−1((n−i)10i)
+n+1{displaystyle sum _{i=0}^{n}10^{i}=9cdot sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1}

sum _{{i=0}}^{n}10^{i}=9cdot sum _{{i=0}}^{{n-1}}((n-i)10^{i})+n+1

, а это последовательность равенств следующего вида:
1=9⋅0+1,11=9⋅1+2,111=9⋅12+3,1111=9⋅123+4,11111=9⋅1234+5{displaystyle 1=9cdot 0+1,quad 11=9cdot 1+2,quad 111=9cdot 12+3,quad 1111=9cdot 123+4,quad 11111=9cdot 1234+5}

1=9cdot 0+1,quad 11=9cdot 1+2,quad 111=9cdot 12+3,quad 1111=9cdot 123+4,quad 11111=9cdot 1234+5

Неопределённая сумма

Неопределённой суммой ai{displaystyle a_{i}}

$a_{i}$ по i{displaystyle i} $i$ называется такая функция f(i){displaystyle f(i)} $f(i)$ , обозначаемая∑iai{displaystyle sum _{i}^{}a_{i}} $sum _{{i}}^{{}}a_{i}$ ,что ∀i:f(i+1)−f(i)=ai{displaystyle forall i:f(i+1)-f(i)=a_{i}} $forall i: f(i+1) - f(i) = a_{i}$ .

Формула Ньютона-Лейбница

Основная статья: Теорема Ньютона-Лейбница

Если найдена неопределённая сумма∑iai=f(i){displaystyle sum _{i}^{}a_{i}=f(i)}

$sum _{{i}}^{{}}a_{i}=f(i)$ , то ∑i=abai=f(b+1)−f(a){displaystyle sum _{i=a}^{b}a_{i}=f(b+1)-f(a)} $sum_{i=a}^b a_i = f(b+1)-f(a)$ .

Этимология

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

Кодировка

В Юникоде есть символ суммы U+2211 ∑ n-ary summation (HTML ∑ • ∑).

См. также

Примечания

↑ Chapter 2: Sums // Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd Edition) : [англ.]. — Addison-Wesley Professional, 1994. — ISBN 978-0201558029.

Литература

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.

Для улучшения этой статьи по математике желательно:

Проставить сноски, внести более точные указания на источники.

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.