Сумма (математика)

Пусть в первой группе ${\displaystyle A}$  находится ${\displaystyle a}$  предметов некоторого рода, во второй группе ${\displaystyle B}$ , соответственно, ${\displaystyle b}$  предметов того-же рода (a и b — натуральные числа). Тогда арифметической суммой ${\displaystyle a+b}$  будет количество предметов ${\displaystyle c}$  в группе ${\displaystyle C}$ , полученной при дизъюнктном объединении двух исходных групп.

Сумму математически обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма).

${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$ 

где: i — индекс суммирования; a_i — переменная, обозначающая каждый член в серии; m — нижняя граница суммирования, n — верхняя граница суммирования. Обозначение «i = m» под символом суммирования означает, что начальное (стартовое) значение индекса i эквивалентно m. Из этой записи следует, что индекс i инкрементируется на 1 в каждом члене выражения, и остановится когда i = n.^[1]

В программировании данной процедуре соответствует цикл for.

Примеры записи

${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} 1}^{100}i=1+2+3+4+...+99+100}$ 

${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$ 

Указание границ может опускаться из записи, если они ясны из контекста:

${\displaystyle \sum a_{i}^{2}=\sum _{i\mathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}.}$ 

Итератор может быть выражением, тогда переменная оформляется со скобками как функция «${\displaystyle f()}$ ». Например, сумма всех натуральных чисел ${\displaystyle k}$  в определённом диапазоне:

${\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$ 

Сумма ${\displaystyle f(x)}$  элементов ${\displaystyle x}$  множества ${\displaystyle S}$ :

${\displaystyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}$ 

Сумма ${\displaystyle \mu (d)}$  всех положительных чисел ${\displaystyle d}$  делящихся на ${\displaystyle n}$ :

${\displaystyle \sum _{d|n}\;\mu (d)}$ 

Несколько символов сигма могут обобщать, например:

${\displaystyle \sum _{\ell ,\ell '}=\sum _{\ell }\sum _{\ell '}}$ 

Бесконечная сумма

В математическом анализе определяется понятие ряда — суммы бесконечного числа слагаемых.

Примеры

1. Сумма арифметической прогрессии:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}}$ 

2. Сумма геометрической прогрессии:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{n+1}}{1-b}}}$ 

3.${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}k\right)^{2}}$ 

4. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right),\quad p\neq 1,n\geq 0}$ 

5. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1}$ 

6. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,\quad p\neq 1}$ 

Стоит заметить, что при ${\displaystyle p=10\ }$  получаем ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}10^{i}=9\cdot \sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1}$ , а это последовательность равенств следующего вида:
${\displaystyle 1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234+5}$ 

Неопределённая сумма

Неопределённой суммой ${\displaystyle a_{i}}$  по ${\displaystyle i}$  называется такая функция ${\displaystyle f(i)}$ , обозначаемая ${\displaystyle \sum _{i}^{}a_{i}}$ , что ${\displaystyle \forall i:f(i+1)-f(i)=a_{i}}$ .

Формула Ньютона-Лейбница

Если найдена неопределённая сумма ${\displaystyle \sum _{i}^{}a_{i}=f(i)}$ , то ${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}a_{i}=f(b+1)-f(a)}$ .

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

В Юникоде есть символ суммы U+2211 ∑ n-ary summation (HTML ∑ • ∑).

• Контрольная сумма
• Сложение
• Произведение

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.