Стабилизированный метод бисопряжённых градиентов

Для комплексных СЛАУ, в методе используются два вида скалярных произведений, в случае действительных матрицы и правой части они совпадают.

• ${\displaystyle (u,v)=\sum _{i=1}^{n}{\overline {u}}_{i}v_{i}}$ 
• ${\displaystyle [u,v]=\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}}$ 

Для решения СЛАУ вида ${\displaystyle Ax=b}$ , где ${\displaystyle A}$  — комплексная матрица, стабилизированным методом бисопряжённых градиентов может использоваться следующий алгоритм^[1][3]:

Подготовка перед итерационным процессом

1. Выберем начальное приближение ${\displaystyle x^{0}}$ 
2. ${\displaystyle r^{0}=b-Ax^{0}}$ 
3. ${\displaystyle {\tilde {r}}=r^{0}}$ 
4. ${\displaystyle \rho ^{0}=\alpha ^{0}=\omega ^{0}=1}$ 
5. ${\displaystyle v^{0}=p^{0}=0}$ 

${\displaystyle k}$ -я итерация метода

1. ${\displaystyle \rho ^{k}=({\tilde {r}},r^{k-1})}$ 
2. ${\displaystyle \beta ^{k}={\frac {\rho ^{k}}{\rho ^{k-1}}}{\frac {\alpha ^{k-1}}{\omega ^{k-1}}}}$ 
3. ${\displaystyle p^{k}=r^{k-1}+\beta ^{k}(p^{k-1}-\omega ^{k-1}v^{k-1})}$ 
4. ${\displaystyle v^{k}=Ap^{k}}$ 
5. ${\displaystyle \alpha ^{k}={\frac {\rho ^{k}}{({\tilde {r}},v^{k})}}}$ 
6. ${\displaystyle s^{k}=r^{k-1}-\alpha ^{k}v^{k}}$ 
7. ${\displaystyle t^{k}=As^{k}}$ 
8. ${\displaystyle \omega ^{k}={\frac {[t^{k},s^{k}]}{[t^{k},t^{k}]}}}$ 
9. ${\displaystyle x^{k}=x^{k-1}+\omega ^{k}s^{k}+\alpha ^{k}p^{k}}$ 
10. ${\displaystyle r^{k}=s^{k}-\omega ^{k}t^{k}}$ 

Критерий остановки итерационного процесса

Кроме традиционных критериев остановки, как число итераций (${\displaystyle k\leq k_{max}}$ ) и заданная невязка (${\displaystyle \||r^{k}||/||b||<\varepsilon }$ ), так же остановку метода можно производить, когда величина ${\displaystyle |\omega ^{k}|}$  стала меньше некоторого заранее заданного числа ${\displaystyle \varepsilon _{\omega }}$ .

• Метод сопряжённых градиентов