Спираль

• Разделы:
  • Трёхмерные спирали
  • Тела, имеющие форму спирали
  • Примечания
  • Литература
  • См. также

Архимедова спираль Спираль Ферма Гиперболическая спиральУ этого термина существуют и другие значения, см. Спираль (значения).

Согласно Математической Энциклопедии, спиралями называются плоские кривые, которые «обычно обходят вокруг одной (или нескольких точек), приближаясь или удаляясь от нее”. Это толкование термина не является строго формализуемым определением. Один из вариантов строгого определения — монотонность полярного уравнения кривой — также не универсален (контрпример — шаблон не поддерживает такой синтаксис) и зависит от выбора полюса. Строгим и однозначным является, например, определение spiral arc в монографии [1], требующее выпуклости кривой, а также монотонности и непрерывности её кривизны k(s){displaystyle k(s)} как функции длины дуги кривой.

Более общее определение, не требующее знакопостоянства и непрерывности кривизны, а лишь её монотонности, принято в статье [2]. В таком виде свойство кривой быть спиралью инвариантно относительно дробно-линейных отображений кривой.

Подобные формальные определения спирали (с теми или иными уточнениями о выпуклости, строгой монотонности, и т.п.) используются в приложениях из области автоматизированного проектирования.

Плоские спирали

Окружность можно считать вырожденным частным случаем спирали (кривизна не строго монотонна, а является константой).

Некоторые из наиболее важных типов двумерных спиралей:

• Архимедова спираль:

   r(θ)=a+bθ {displaystyle ~r(theta )=a+btheta ~};

• Спираль Ферма:

   r(θ)=θ12 {displaystyle ~r(theta )=theta ^{frac {1}{2}}~};

• Гиперболическая спираль:

   r(θ)=aθ {displaystyle ~r(theta )={frac {a}{theta }}~};

• Логарифмическая спираль:

   r(θ)=aebθ {displaystyle ~r(theta )=ae^{btheta }~};

• Спираль Фибоначчи?! (англ. Fibonacci spiral) и золотая спираль — частные случаи логарифмической спирали.
• Спираль Корню: k(s)=±sa2.{displaystyle k(s)=pm {frac {s}{a^{2}}}.}

Трёхмерные спирали

Как и в двумерном случае, r — непрерывную монотонную функцию от θ.

Для простых трёхмерных спиралей третья переменная h — также непрерывная монотонная функция от θ. Например, коническая винтовая линия может быть определена как спираль на конической поверхности с расстоянием от вершины как экспоненциальной функцией от θ.

Для сложных трёхмерных спиралей, как, например, сферическая спираль, h возрастает с ростом θ с одной стороны от точки и убывает — с другой.

Сферическая спираль

Сферическая спираль (локсодрома) — это кривая на сфере, пересекающая все меридианы под одним углом (не прямым). Эта кривая имеет бесконечное число витков. Расстояние между ними убывает по мере приближения к полюсам.

Тела, имеющие форму спирали

• Раковина у брюхоногих
• Цитоскелет эукариот
• Спираль в балансе механических часов
• Спиральная заводная пружина в механических часах и в заводных игрушках, спиральная пружина в стрелочных индикаторах магнитофонов, радиоприёмников, в измерительных головках магнитоэлектрических головок амперметров, вольтметров, омметров, тестеров и др.
• Циклон, Антициклон
• Спиральные галактики
• Коллаген — Фибриллярный белок с правозакрученной спиралью
• Рулон
• ДНК

Примечания

1. ↑ Guggenheimer H.W. Differential geometry.. — New York: Dover Publications, 1977. — С. 48. — ISBN 0-486-63433-7.
2. ↑ Курносенко А.И. Общие свойства плоских спиральных кривых // Записки научных семинаров ПОМИ : том 353. — 2009. — С. 93-115. — ISSN 0373-2703.

Литература

• Cook, T., 1903. Spirals in nature and art. Nature 68 (1761), 296.
• Cook, T., 1979. The curves of life. Dover, New York.
• Habib, Z., Sakai, M., 2005. Spiral transition curves and their applications. Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195 – 206.
• Dimulyo, S., Habib, Z., Sakai, M., 2009. Fair cubic transition between two circles with one circle inside or tangent to the other. Numerical Algorithms 51, 461–476 [1].
• Harary, G., Tal, A., 2011. The natural 3D spiral. Computer Graphics Forum 30 (2), 237 – 246 [2].
• Xu, L., Mould, D., 2009. Magnetic curves: curvature-controlled aesthetic curves using magnetic fields. In: Deussen, O., Hall, P. (Eds.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. The Eurographics Association [3].
• Wang, Y., Zhao, B., Zhang, L., Xu, J., Wang, K., Wang, S., 2004. Designing fair curves using monotone curvature pieces. Computer Aided Geometric Design 21 (5), 515–527 [4].
• A. Kurnosenko. Applying inversion to construct planar, rational spirals that satisfy two-point G2 Hermite data. Computer Aided Geometric Design, 27(3), 262-280, 2010 [5].
• A. Kurnosenko. Two-point G2 Hermite interpolation with spirals by inversion of hyperbola. Computer Aided Geometric Design, 27(6), 474-481, 2010.
• Miura, K.T., 2006. A general equation of aesthetic curves and its self-affinity. Computer-Aided Design and Applications 3 (1–4), 457–464 [6].
• Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Derivation of a general formula of aesthetic curves. In: 8th International Conference on Humans and Computers (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japan, pp. 166 – 171 [7].
• Meek, D., Walton, D., 1989. The use of Cornu spirals in drawing planar curves of controlled curvature. Journal of Computational and Applied Mathematics
  25 (1), 69–78 [8].
• Farin, G., 2006. Class A Bézier curves. Computer Aided Geometric Design 23 (7), 573–581 [9].
• Farouki, R.T., 1997. Pythagorean-hodograph quintic transition curves of monotone curvature. Computer-Aided Design 29 (9), 601–606.
• Yoshida, N., Saito, T., 2006. Interactive aesthetic curve segments. The Visual Computer 22 (9), 896–905 [10].
• Yoshida, N., Saito, T., 2007. Quasi-aesthetic curves in rational cubic Bézier forms. Computer-Aided Design and Applications 4 (9–10), 477–486 [11].
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Analytic parametric equations of log-aesthetic curves in terms of incomplete gamma functions. Computer Aided Geometric Design 29 (2), 129 – 140 [12].
• Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Fitting G2 multispiral transition curve joining two straight lines, Computer-Aided Design 44(6), 591–596 [13].
• Ziatdinov, R., 2012. Family of superspirals with completely monotonic curvature given in terms of Gauss hypergeometric function. Computer Aided Geometric Design 29(7): 510-518, 2012 [14].
• Ziatdinov, R., Miura K.T., 2012. On the Variety of Planar Spirals and Their Applications in Computer Aided Design. European Researcher 27(8-2), 1227-1232 [15].

См. также

Спираль:

• Значения в Викисловаре
• Медиафайлы на Викискладе

• Геликоид