Софокусные конические сечения

Эллипс, не являющийся окружностью, однозначно определяется положением фокусов ${\displaystyle F_{1},\;F_{2}}$  и точкой вне большой оси. Пучок софокусных эллипсов с фокусами ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)}$  можно описать уравнением

• ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad a>c\ ,}$ 

в котором большая полуось ${\displaystyle a}$  является параметром (фокальное расстояние ${\displaystyle c}$  однозначно определяется расположением фокусов). Поскольку точка на эллипсе однозначно задаёт значение ${\displaystyle a}$ , то

• никакие два эллипса в пучке не имеют общих точек.

Гипербола однозначно определяется положением фокусов ${\displaystyle F_{1},\;F_{2}}$  и точкой вне осей симметрии. Пучок софокусных гипербол с фокусами ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)}$  можно описать уравнением

• ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{c^{2}-a^{2}}}=1\ ,\quad 0<a<c\ ,}$ 

в котором большая полуось ${\displaystyle a}$  является параметром (фокальное расстояние ${\displaystyle c}$  однозначно определяется расположением фокусов). Поскольку точка на гиперболе однозначно задаёт значение ${\displaystyle a}$ , то

• никакие две гиперболы в пучке не имеют общих точек.

Уравнение

• ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1}$ 

описывает эллипс при ${\displaystyle c<a}$  и гиперболу при ${\displaystyle 0<a<c}$ .

В литературе можно найти другой вариант представления:

• ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}=1\ ,}$ 

где ${\displaystyle a,b}$  — полуоси данного эллипса (тогда и фокусы ${\displaystyle F_{1},\;F_{2}}$  заданы) и ${\displaystyle \lambda }$  является параметром пучка.
При ${\displaystyle \lambda <b^{2}}$  мы получаем софокусные эллипсы (то есть ${\displaystyle a^{2}-\lambda -(b^{2}-\lambda )=c^{2}}$ ) и
при ${\displaystyle b^{2}<\lambda <a^{2}}$  получаем софокусные гиперболы с фокусами ${\displaystyle F_{1},\;F_{2}}$ .

Рассмотрение пучков софокусных эллипсов и гипербол приводит к следующему выводу о касательной и нормали в заданной точке (нормаль к эллипсу и касательная к гиперболе делят пополам угол между направлениями из точки к фокусам):

• каждый эллипс в пучке пересекает каждую гиперболу под прямым углом (см. рисунок).

Таким образом, можно покрыть плоскость ортогональной системой софокусных эллипсов и гипербол. Такую ортогональную сетку можно использовать как основу эллиптической системы координат.

Параболы обладают только одним фокусом. Можно рассматривать параболу как предел пучка софокусных эллипсов или гипербол, у которых один фокус зафиксирован, а второй удаляется на бесконечность. Если подобное рассмотрение провести для софокусных эллипсов и гипербол, можно получить систему из двух пучков софокусных парабол.

Уравнение ${\displaystyle y^{2}=2p(x+p/2)=2px+p^{2}}$  описывает параболу с началом координат в фокусе, при этом ось x является осью симметрии. Рассмотрим два пучка парабол:

• ${\displaystyle y^{2}=2px+p^{2}\ ,\quad p>0\ ,}$  параболы, бесконечные в правую сторону,

${\displaystyle y^{2}=-2qx+q^{2}\ ,\quad q>0\ ,}$  параболы, бесконечные в левую сторону,

фокус ${\displaystyle F=(0,0)}$  является общим.

Из уравнения параболы следует, что

• параболы, простирающиеся в одну сторону, не имеют общих точек.

Вычисления показывают, что

• любая парабола ${\displaystyle y^{2}=2px+p^{2}}$ , простирающаяся направо, пересекает каждую параболу ${\displaystyle y^{2}=-2qx+q^{2}}$ , простирающуюся налево, ортогонально. Точки пересечения имеют координаты ${\displaystyle ({\tfrac {q-p}{2}},\pm {\sqrt {pq}})\ }$ .

Векторы (${\displaystyle {\vec {n}}_{1}=\left(p,\mp {\sqrt {pq}}\right)^{T},\ {\vec {n}}_{2}=\left(q,\pm {\sqrt {pq}}\right)^{T})}$  являются векторами нормали в точках пересечения. Скалярное произведение данных векторов равно нулю.

По аналогии с софокусными эллипсами и гиперболами, плоскость можно покрыть ортогональной сеткой парабол.

В 1850 году ирландский епископ Чарльз Грейвс доказал и опубликовал следующий метод построения софокусных эллипсов с помощью нити:^[1]

• если окружить данный эллипс E кольцом из нити, превышающей по длине контур данного эллипса, нарисуем новый эллипс с помощью закреплённых в фокусах "иголок" (см. построение эллипса), при этом новый эллипс будет софокусным с E. Доказательство данного утверждения требует использования эллиптических интегралов. Отто Штауде обобщил данный метод для построения софокусных эллипсоидов.

Если эллипс E представляет собой отрезок ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$ , то софокусные ему эллипсы будут обладать фокусами ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ .

Понятие софокусных поверхностей второго порядка является формальным обобщением понятия софокусных конических сечений на трёхмерное пространство.

Выберем три вещественных числа ${\displaystyle a,b,c}$  при условии ${\displaystyle a>b>c>0}$ . Уравнение

• ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}=1}$  описывает

эллипсоид при ${\displaystyle \lambda <c^{2}}$  ,

однополостный гиперболоид при ${\displaystyle c^{2}<\lambda <b^{2}}$  (синяя поверхность на рисунке),

двуполостный гиперболоид при ${\displaystyle b^{2}<\lambda <a^{2}}$  .

При ${\displaystyle a^{2}<\lambda }$  решений не существует

(В данном контексте параметр ${\displaystyle c}$  не является фокальным расстоянием эллипсоида).

Аналогично случаю софокусных эллипсов/гипербол имеем свойства:

• любая точка ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}}$  при ${\displaystyle x_{0}\neq 0,\;y_{0}\neq 0,\;z_{0}\neq 0}$  лежит только на одной поверхности каждого из трёх видов софокусных квадрик;

три поверхности второго порядка, проходящие через точку ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ , пересекаются ортогонально

Доказательство существования и единственности трёх квадрик, проходящих через данную точку: для точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$  при ${\displaystyle x_{0}\neq 0,y_{0}\neq 0,z_{0}\neq 0}$  рассмотрим функцию

${\displaystyle f(\lambda )={\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-\lambda }}-1}$ .

Данная функция имеет три вертикальные асимптоты ${\displaystyle c^{2}<b^{2}<a^{2}}$  и является непрерывной и монотонно возрастающей во всех интервалах ${\displaystyle (-\infty ,c^{2}),\;(c^{2},b^{2}),\;(b^{2},a^{2}),\;(a^{2},\infty )}$ . Анализ поведения функции вблизи вертикальных асимптот и при ${\displaystyle \lambda \to \pm \infty }$  приводит к выводу о том, что ${\displaystyle f}$  имеет три корня ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$  при ${\displaystyle {\color {red}\lambda _{1}}<c^{2}<{\color {red}\lambda _{2}}<b^{2}<{\color {red}\lambda _{3}}<a^{2}\ .}$ 

Доказательство ортогональности поверхностей: рассмотрим пучки функций ${\displaystyle F_{\lambda }(x,y,z)={\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}}$  с параметром ${\displaystyle \lambda }$ . Софокусные квадрики можно описать соотношением ${\displaystyle F_{\lambda }(x,y,z)=1}$ . Для любых двух пересекающихся квадрик при ${\displaystyle F_{\lambda _{i}}(x,y,z)=1,\;F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=1}$  в общей точке ${\displaystyle (x,y,z)}$  выполняется равенство

${\displaystyle 0=F_{\lambda _{i}}(x,y,z)-F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=\dotsb =(\lambda _{i}-\lambda _{k})\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)\ .}$ 

Отсюда скалярное произведение градиентов в общей точке

${\displaystyle \operatorname {grad} F_{\lambda _{i}}\cdot \operatorname {grad} F_{\lambda _{k}}=4\;\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)=0\ ,}$ 

что доказывает ортогональность.

Приложения.
По теореме Ш. Дюпена об ортогональных системах поверхностей следующие утверждения является справедливым:

• линия пересечения любых двух софокусных поверхностей второго порядка является линией кривизны;
• по аналогии с эллиптическими координатами можно ввести эллипсоидальные координаты.

В физике софокусные эллипсоиды являются эквипотенциальными поверхностями:

• эквипотенциальные поверхности заряженного эллипсоида являются софокусными к данному эллипсоидами.^[2]

Теорема Айвори, названная по имени шотландского математика Джеймса Айвори (1765–1842), представляет собой утверждение о диагоналях четырёхугольника, образованного ортогональными кривыми.

• В любом четырёхугольнике, образованном двумя софокусными эллипсами и двумя софокусными гиперболами с теми же фокусами, диагонали имеют равные длины.

Точки пересечения эллипса и софокусной гиперболы
Пусть ${\displaystyle E(a)}$  — эллипс с фокусами ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)}$ , задаваемый уравнением

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad a>c>0,\ }$ 

а ${\displaystyle H(u)}$  — софокусная гипербола с уравнением

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{u^{2}}}+{\frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad c>u\ .}$ 

Вычисление точек пересечения ${\displaystyle E(a)}$  и ${\displaystyle H(u)}$  даёт координаты четырёх точек

• ${\displaystyle \left(\pm {\frac {au}{c}},\;\pm {\frac {\sqrt {(a^{2}-c^{2})(c^{2}-u^{2})}}{c}}\right).}$ 

Диагонали четырёхугольника
Для упрощения вычислений предположим, что

• ${\displaystyle c=1}$ , что не является существенным ограничением, поскольку возможно изменение масштаба;
• при выборе знака ${\displaystyle \pm }$  (см. пункт о точках пересечения) будем рассматривать только ${\displaystyle +}$ . Несложно показать, что выбор другого знака приведёт к тому же результату.

Пусть ${\displaystyle E(a_{1}),E(a_{2})}$  являются софокусными эллипсами, а ${\displaystyle H(u_{1}),H(u_{2})}$  являются софокусными гиперболами с теми же фокусами. Диагонали четырёхугольника, образованного точками пересечения с координатами

${\displaystyle P_{11}=\left(a_{1}u_{1},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)\ ,\quad P_{22}=\left(a_{2}u_{2},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right)\ ,}$ 

${\displaystyle P_{12}=\left(a_{1}u_{2},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right)\ ,\quad P_{21}=\left(a_{2}u_{1},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)}$ 

имеют длины

${\displaystyle {\begin{aligned}|P_{11}P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+\left({\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)^{2}=\dotsb \\&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\,\left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}}\right)\end{aligned}}}$ 

Последнее выражение является инвариантом по отношению к замене ${\displaystyle u_{1}\leftrightarrow u_{2}}$ . Подобная замена приводит к выражению для длины ${\displaystyle |P_{1\color {red}2}P_{2\color {red}1}|^{2}}$ . Следовательно, имеет место равенство

• ${\displaystyle |P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|}$ 

Доказательство утверждения для софокусных парабол представляет собой несложные расчёты.

Айвори также доказал теорему для трёхмерного случая:

• у трёхмерного прямоугольного параллелепипеда, образованного софокусными квадриками, диагонали, соединяющие противоположные точки, имеют равные длины.

• W. Blaschke: Analytische Geometrie. Springer, Basel 1954,ISBN 978-3-0348-6813-6, p. 111.
• G. Glaeser,H. Stachel,B. Odehnal: The Universe of Conics: From the ancient Greeks to 21st century developments, Springer Spektrum, ISBN 978-3-662-45449-7, p. 457.
• David Hilbert & Stephan Cohn-Vossen (1999), Geometry and Imagination, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1998-4 
• Ernesto Pascal: Repertorium der höheren Mathematik. Teubner, Leipzig/Berlin 1910, p. 257.
• A. Robson: An Introduction to Analytical Geometry Vo. I, Cambridge, University Press, 1940, p. 157.
• D.M.Y. Sommerville: Analytical Geometry of Three Dimensions, Cambridge, University Press, 1959, p. 235.

• T. Hofmann: Miniskript Differentialgeometrie I, p. 48
• B. Springborn: Kurven und Flächen, 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken (S. 22 f.).
• H. Walser: Konforme Abbildungen. p. 8.