Соглашение Эйнштейна

В тензорном анализе, в частности в его приложениях к общей теории относительности и дифференциальной геометрии, при записи выражений из многокомпонентных величин, пронумерованных верхними и нижними индексами (тензоров), для экономии записи бывает удобно использовать правило, называемое соглашением Эйнштейна: если одна и та же буква в обозначении индекса встречается и сверху, и снизу, то такой член полагается просуммированным по всем значениям, которые может принимать этот индекс. Например, в выражении

$v_{k}=a_{i}b_{k}^{i}$

буква i встречается и сверху, и снизу, поэтому это выражение считается эквивалентным сумме

$v_{k}=\sum _{i}{a_{i}b_{k}^{i}}.$

Обычно это означает:

$v_{k}=\sum _{i=1}^{D}a_{i}b_{k}^{i},$

где D — размерность пространства, на котором определены a и b, если, конечно, нумерация координат начинается с единицы.

Замечание

В некоторых случаях^[1] (если метрический тензор полагается всегда равным $\delta _{ik}$ ) верхние и нижние индексы в формулах не различают. В таком случае суммирование ведётся по любой паре повторяющихся индексов, встречающихся в одном и том же произведении тензоров. Например, в $\mathbb {R} ^{3}$

D_{\alpha \beta }n_{\alpha }=\sum _{\alpha =1}^{3}D_{\alpha \beta }n_{\alpha }

Используя стандартное соглашение Эйнштейна, следовало бы писать $D_{\alpha \beta }n_{\gamma }\delta ^{\alpha \gamma }$ .

Примечания

↑ Например, в теории упругости. См. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.VII. Теория упругости. - М.: Наука, 1987.

[1] Например, в теории упругости. См. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.VII. Теория упругости. - М.: Наука, 1987.

[1]