Соглашение Эйнштейна

Разделы:
- Примечания

В тензорном анализе, в частности в его приложениях к общей теории относительности и дифференциальной геометрии, при записи выражений из многокомпонентных величин, пронумерованных верхними и нижними индексами (тензоров), для экономии записи бывает удобно использовать правило, называемое соглашением Эйнштейна: если одна и та же буква в обозначении индекса встречается и сверху, и снизу, то такой член полагается просуммированным по всем значениям, которые может принимать этот индекс. Например, в выражении

vk=aibki{displaystyle v_{k}=a_{i}b_{k}^{i}} $v_k= a_ib^i_k$

буква i встречается и сверху, и снизу, поэтому это выражение считается эквивалентным сумме

vk=∑iaibki.{displaystyle v_{k}=sum _{i}{a_{i}b_{k}^{i}}.} $v_k=sum_i{a_ib^i_k}.$

Обычно это означает:

vk=∑i=1Daibki,{displaystyle v_{k}=sum _{i=1}^{D}a_{i}b_{k}^{i},} ${displaystyle v_{k}=sum _{i=1}^{D}a_{i}b_{k}^{i},}$

где D — размерность пространства, на котором определены a и b, если, конечно, нумерация координат начинается с единицы.

Содержание

Замечание

В некоторых случаях[1] (если метрический тензор полагается всегда равным δik{displaystyle delta _{ik}}

$delta_{ik}$ ) верхние и нижние индексы в формулах не различают. В таком случае суммирование ведётся по любой паре повторяющихся индексов, встречающихся в одном и том же произведении тензоров. Например, в R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} $mathbb {R} ^{3}$

Dαβnα=∑α=13Dαβnα{displaystyle D_{alpha beta }n_{alpha }=sum _{alpha =1}^{3}D_{alpha beta }n_{alpha }}

D_{alphabeta}n_alpha = sum_{alpha=1}^{3} D_{alphabeta}n_alpha

Используя стандартное соглашение Эйнштейна, следовало бы писать Dαβnγδαγ{displaystyle D_{alpha beta }n_{gamma }delta ^{alpha gamma }}

${displaystyle D_{alpha beta }n_{gamma }delta ^{alpha gamma }}$ .

Примечания

↑ Например, в теории упругости. См. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.VII. Теория упругости. — М.: Наука, 1987.