Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .

Свойства

 
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
 
  • Смешанное произведение   в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов   и  :
 
В частности,
    • Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
  • Геометрический смысл — Смешанное произведение   по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами   и   знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
 
Три вектора, определяющие параллелепипед.
 

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

Обобщение

В  -мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы  , составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный  -мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

 

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

См. также