Сме́шанное произведе́ние (a,b,c){displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} )} векторов a,b,c{displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} } — скалярное произведение вектора a{displaystyle mathbf {a} } на векторное произведение векторов b{displaystyle mathbf {b} } и c{displaystyle mathbf {c} }:
— 
на 
и c{displaystyle mathbf {c} }
:- (a,b,c)=a⋅(b×c){displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} )=mathbf {a} cdot left(mathbf {b} times mathbf {c} right)}.
.Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).
Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами a,b,c{displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} }.
Свойства
- Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
- (a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=−(b,a,c)=−(c,b,a)=−(a,c,b);{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} )=(mathbf {b} ,mathbf {c} ,mathbf {a} )=(mathbf {c} ,mathbf {a} ,mathbf {b} )=-(mathbf {b} ,mathbf {a} ,mathbf {c} )=-(mathbf {c} ,mathbf {b} ,mathbf {a} )=-(mathbf {a} ,mathbf {c} ,mathbf {b} );}
- т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
- ⟨a,[b,c]⟩=⟨[a,b],c⟩{displaystyle langle mathbf {a} ,[mathbf {b} ,mathbf {c} ]rangle =langle [mathbf {a} ,mathbf {b} ],mathbf {c} rangle }
![langle {mathbf a},[{mathbf b},{mathbf c}]rangle =langle [{mathbf a},{mathbf b}],{mathbf c}rangle](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc30b02c812893d882f6853dbae562f4e943be3)
- Смешанное произведение (a,b,c){displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} )} в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов a,b{displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} } и c{displaystyle mathbf {c} } :
и c{displaystyle mathbf {c} }- (a,b,c)=|axayazbxbybzcxcycz|.{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} )={begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\b_{x}&b_{y}&b_{z}\c_{x}&c_{y}&c_{z}end{vmatrix}}.}
- В частности,
-
- Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
- Геометрический смысл — Смешанное произведение (a,b,c){displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} )} по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами a,b{displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} } и c;{displaystyle mathbf {c} ;} знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
Три вектора, определяющие параллелепипед.
- Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты:
- (a,b,c)=∑i,j,kεijkaibjck{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} )=sum _{i,j,k}varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}
(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).
Обобщение
В n{displaystyle n}
-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы n×n{displaystyle ntimes n} , составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный n{displaystyle n} -мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).
-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы n×n{displaystyle ntimes n}
, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный n{displaystyle n}В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:
- (a,b,c,…)=∑i,j,k,…εijk…aibjck…{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {c} ,ldots )=sum _{i,j,k,ldots }varepsilon _{ijkldots }a^{i}b^{j}c^{k}ldots }
В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.
