Смешанное произведение

• Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {a} )=(\mathbf {c} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-(\mathbf {b} ,\mathbf {a} ,\mathbf {c} )=-(\mathbf {c} ,\mathbf {b} ,\mathbf {a} )=-(\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {b} );}$ 

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,[\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]\rangle =\langle [\mathbf {a} ,\mathbf {b} ],\mathbf {c} \rangle }$ 

• Смешанное произведение ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$  в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$  и ${\displaystyle \mathbf {c} }$ :

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.}$ 

В частности,

• • Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
• Геометрический смысл — Смешанное произведение ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$  по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$  и ${\displaystyle \mathbf {c} ;}$  знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

• Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=\sum _{i,j,k}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}$ 

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

В ${\displaystyle \ n}$ -мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы ${\displaystyle n\times n}$ , составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный ${\displaystyle \ n}$ -мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\ldots )=\sum _{i,j,k,\ldots }\varepsilon _{ijk\ldots }a^{i}b^{j}c^{k}\ldots }$ 

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

• Тройное векторное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение