Смешанная частная производная

Пусть функция ${\displaystyle z=f(x,y)}$ , и ее частные производные

определены в некоторой окрестности точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ . Тогда предел

если он существует, называется смешанной (смежной) производной функции ${\displaystyle f(x,y)}$  в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$  и обозначается ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0})}{\partial x\partial y}}}$ .
Аналогично определяется ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0})}{\partial y\partial x}}}$  как ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {\partial f(x_{0}+\Delta x,y_{0})}{\partial y}}-{\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial y}}}{\Delta x}}}$ , если он (предел) существет.
Смешанные частные производные порядка большего двух определяются индуктивно.

• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}=f''_{xy}=z''_{xy}}$ 
• ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}=f''_{yx}=z''_{yx}}$ 

• Для подавляющего числа функций имеет место равенство ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}$ . Более того, до определенного времени считалось, что это равенство выполняется всегда. Но это не так.
  Пример Шварца
      ${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}},x^{2}+y^{2}>0\\0,x=y=0\end{cases}}\Rightarrow {\frac {\partial ^{2}f(0,0)}{\partial x\partial y}}=-1\neq 1={\frac {\partial ^{2}f(0,0)}{\partial y\partial x}}}$ 
  То есть смешанные производные в примере Шварца не равны.
• Имеет место теорема о равенстве смешанных производных
  Теорема Шварца
  Пусть выполнены условия:
  1. функции ${\displaystyle z=f(x,y),{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}},{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}$  определены в некоторой окрестности точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ .
  2. ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}},{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}$  непрерывны в точке ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ .
  Тогда ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0})}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0})}{\partial y\partial x}}}$ , то есть смешанные производные второго порядка равны в каждой точке, где они непрерывны.
  Теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных индуктивно распространяется на смешанные частные производные высших порядков, при условии, что они непрерывны.
• Тем не менее условие непрерывности смежных производных отнюдь не является необходимым в теореме Шварца.
  Пример
  ${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}},x^{2}+y^{2}>0\\0,x=y=0\end{cases}}\Rightarrow }$  смешанные производные второго порядка равны всюду, однако, разрывны в точке (0,0).