Скорость звука

Уже у античных авторов встречается указание на то, что звук обусловлен колебательным движением тела (Птолемей, Евклид). Аристотель отмечает, что скорость звука имеет конечную величину, и правильно представляет себе природу звука^[2]. Попытки экспериментального определения скорости звука относятся к первой половине XVII в. Ф. Бэкон в «Новом органоне» указал на возможность определения скорости звука путём сравнения промежутков времени между вспышкой света и звуком выстрела. Применив этот метод, различные исследователи (М. Мерсенн, П. Гассенди, У. Дерхам, группа учёных Парижской академии наук — Д. Кассини, Ж. Пикар, Гюйгенс, Рёмер) определили значение скорости звука (в зависимости от условий экспериментов, 350—390 м/с). Теоретически вопрос о скорости звука впервые рассмотрел И. Ньютон в своих «Началах». Ньютон фактически предполагал изотермичность распространения звука, поэтому получил заниженную оценку. Правильное теоретическое значение скорости звука было получено Лапласом^[3][4][5][6].

Скорость звука в однородной жидкости (или газе) вычисляется по формуле:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {1}{\beta \rho }}}.}$ 

В частных производных:

${\displaystyle c={\sqrt {-v^{2}\left({\frac {\partial p}{\partial v}}\right)_{s}}}={\sqrt {-v^{2}{\frac {C_{p}}{C_{v}}}\left({\frac {\partial p}{\partial v}}\right)_{T}}},}$ 

где ${\displaystyle \beta }$  — адиабатическая упругость среды; ${\displaystyle \rho }$  — плотность; ${\displaystyle C_{p}}$  — изобарная теплоёмкость; ${\displaystyle C_{v}}$  — изохорная теплоёмкость; ${\displaystyle p}$ , ${\displaystyle v}$ , ${\displaystyle T}$  — давление, удельный объём и температура, ${\displaystyle s}$  — энтропия среды.

Для идеальных газов эта формула выглядит так:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {\gamma kT}{m}}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}}=\alpha {\sqrt {T}}={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}v}$ ,

где ${\displaystyle \gamma }$  — показатель адиабаты: 5/3 для одноатомных газов, 7/5 для двухатомных (и для воздуха), 4/3 для многоатомных; ${\displaystyle k}$  — постоянная Больцмана; ${\displaystyle R}$  — универсальная газовая постоянная; ${\displaystyle T}$  — абсолютная температура; ${\displaystyle m}$  — молекулярная масса; ${\displaystyle M}$  — молярная масса, ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {\gamma R}{M}}}}$ ; ${\displaystyle v}$  — средняя скорость теплового движения частиц газа.

По порядку величины скорость звука в газах близка к средней скорости теплового движения молекул (см. Распределение Максвелла) и в приближении постоянства показателя адиабаты пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры.

Данные выражения являются приближёнными, поскольку основываются на уравнениях, описывающих поведение идеального газа. При больших давлениях и температурах необходимо вносить соответствующие поправки.

Для расчёта сжимаемости многокомпонентной смеси, состоящей из невзаимодействующих друг с другом жидкостей и/или газов, применяется уравнение Вуда. Это же уравнение применимо и для оценки скорости звука в нейтральных взвесях.

Для растворов и других сложных физико-химических систем (например, природный газ, нефть) данные выражения могут давать очень большую погрешность.

В однородных твёрдых телах могут существовать два типа объёмных волн, отличающихся друг от друга поляризацией колебаний относительно направления распространения волны: продольная (P-волна) и поперечная (S-волна). Скорость распространения первой ${\displaystyle (c_{P})}$  всегда выше, чем скорость второй ${\displaystyle (c_{S})}$ :

${\displaystyle c_{P}={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )\rho }}},}$ 

${\displaystyle c_{S}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {E}{2(1+\nu )\rho }}},}$ 

где ${\displaystyle K}$  — модуль всестороннего сжатия, ${\displaystyle G}$  — модуль сдвига, ${\displaystyle E}$  — модуль Юнга, ${\displaystyle \nu }$  — коэффициент Пуассона. Как и для случая с жидкой или газообразной средой, при расчетах должны использоваться адиабатические модули упругости.

В многофазных средах из-за явлений неупругого поглощения энергии скорость звука, вообще говоря, зависит от частоты колебаний (то есть наблюдается дисперсия скорости). Например, оценка скорости упругих волн в двухфазной пористой среде может быть выполнена с применением уравнений теории Био-Николаевского. При достаточно высоких частотах (выше частоты Био) в такой среде возникают не только продольные и поперечные волны, но также и продольная волна II-рода. При частоте колебаний ниже частоты Био, скорость упругих волн может быть приблизительно оценена с использованием гораздо более простых уравнений Гассмана.

При наличии границ раздела, упругая энергия может передаваться посредством поверхностных волн различных типов, скорость которых отличается от скорости продольных и поперечных волн. Энергия этих колебаний может во много раз превосходить энергию объёмных волн.

В чистой воде скорость звука составляет около 1500 м/с (см. опыт Колладона — Штурма) и увеличивается с ростом температуры. Прикладное значение имеет также скорость звука в солёной воде океана. Скорость звука увеличивается с увеличением солёности и температуры. При увеличении давления скорость также возрастает, то есть, увеличивается с глубиной. Предложено несколько различных эмпирических формул для вычисления скорости распространения звука в воде.

Например, формула Вильсона 1960 года для нулевой глубины даёт следующее значение скорости звука:

${\displaystyle c=1449,2+4,623\ T-0,0546\ T^{2}+1,39(S-35),}$ 

где ${\displaystyle c}$  — скорость звука в метрах в секунду,

${\displaystyle T}$  — температура в градусах Цельсия,

${\displaystyle S}$  — солёность в промилле.

Иногда также пользуются упрощённой формулой Лероя:

${\displaystyle c=1492,9+3(T-10)-0,006(T-10)^{2}-0,04(T-18)^{2}\ +}$ 

${\displaystyle +\ 1,2(S-35)-0,01(T-18)(S-35)+z/61,}$ 

где ${\displaystyle z}$  — глубина в метрах.

Эта формула обеспечивает точность около 0,1 м/с для ${\displaystyle T<+20}$  °C и при ${\displaystyle z<800}$  м.

При температуре +24 °C, солёности 35 промилле и нулевой глубине скорость звука равна около 1532,3 м/c. При ${\displaystyle T=+4}$  °C, глубине 100 м и той же солёности скорость звука равна 1468,5 м/с^[7].

Международная стандартная формула, применяемая для определения скорости звука в морской воде известна как формула ЮНЕСКО и описана в работе^[8]. Она более сложная, чем простые формулы приведенные выше и вместо глубины в неё входит давление как параметр. Оригинальный алгоритм ЮНЕСКО для расчётов по формуле описан в работе N. P. Fofonoff и R. C. Millard^[9].

В 1995 году коэффициенты, применяемые в данной формуле были уточнены^[10] после принятия международной температурной шкалы 1990 года. Конечная форма формулы ЮНЕСКО имеет следующий вид, входящие в формулу постоянные коэффициенты согласно^[10] приведены в таблице:

${\displaystyle c(S,T,P)=C_{w}(T,P)+A(T,P)S+B(T,P)S^{3/2}+D(T,P)S^{2},}$ 

где ${\displaystyle C_{w}(T,P)=C_{00}+C_{01}T+C_{02}T^{2}+C_{03}T^{3}+C_{04}T^{4}+C_{05}T^{5}\ +}$ 

${\displaystyle +\ (C_{10}+C_{11}T+C_{12}T^{2}+C_{13}T^{3}+C_{14}T^{4})P\ +}$ 

${\displaystyle +\ (C_{20}+C_{21}T+C_{22}T^{2}+C_{23}T^{3}+C_{24}T^{4})P^{2}\ +}$ 

${\displaystyle +\ (C_{30}+C_{31}T+C_{32}T^{2})P^{3},}$ 

${\displaystyle A(T,P)=A_{00}+A_{01}T+A_{02}T^{2}+A_{03}T^{3}+A_{04}T^{4}\ +}$ 

${\displaystyle +\ (A_{10}+A_{11}T+A_{12}T^{2}+A_{13}T^{3}+A_{14}T^{4})P\ +}$ 

${\displaystyle +\ (A_{20}+A_{21}T+A_{22}T^{2}+A_{23}T^{3})P^{2}\ +}$ 

${\displaystyle +\ (A_{30}+A_{31}T+A_{32}T^{2})P^{3},}$ 

${\displaystyle B(T,P)=B_{00}+B_{01}T+(B_{10}+B_{11}T)P,}$ 

${\displaystyle D(T,P)=D_{00}+D_{10}P.}$ 

Здесь ${\displaystyle T}$  — температура в градусах Цельсия (в диапазоне от 0 °С до 40 °С),

${\displaystyle S}$  — соленость в промилле (в диапазоне от 0 до 40 промилле),

${\displaystyle P}$  — давление в барах (в диапазоне от 0 до 1000 бар).

В библиотеке приводится исходный код алгоритма ЮНЕСКО на языке C#.

• Скорость света
• Эффект Доплера
• Сверхзвуковой самолёт
• Звуковой барьер
• Число Маха
• Гиперзвуковая скорость

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, 2 изд., М., 1953;
• Михайлов И. Г., Соловьев В. А., Сырников Ю. П., Основы молекулярной акустики, М., 1964;
• Колесников А. Е., Ультразвуковые измерения, М., 1970;
• Исакович М. А., Общая акустика, М., 1973.

• Вычисление скорости звука
• Таблицы скоростей звука
• Акустические свойства различных материалов и скорости звука в них