Скобка Пуассона

Пусть ${\displaystyle v}$  и ${\displaystyle u}$  — векторные поля на ${\displaystyle M}$ , ${\displaystyle L_{v}}$  — оператор производной Ли по направлению векторного поля ${\displaystyle v}$ . Коммутатор операторов ${\displaystyle L_{v}}$  и ${\displaystyle L_{u}}$  есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле ${\displaystyle [v,u]}$ , для которого^{[3][Notes 1]}

${\displaystyle L_{v}L_{u}-L_{u}L_{v}\equiv [L_{v},L_{u}]=L_{[v,u]}}$ 

Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:

${\displaystyle [v,u]=L_{v}u}$ 

В голономном базисе оно принимает вид

${\displaystyle [v,u]^{\mu }=v^{\alpha }\partial _{\alpha }u^{\mu }-u^{\alpha }\partial _{\alpha }v^{\mu }}$ 

Свойства

• Линейность: ${\displaystyle [\alpha v+\beta u,w]=\alpha [v,w]+\beta [u,w]}$ 
• Антикоммутативность: ${\displaystyle [u,v]=-[v,u]}$ 
• Тождество Якоби: ${\displaystyle [u,[v,w]]+[v,[w,u]]+[w,[u,v]]=0}$ 
• Операция коммутирования задаёт на множестве векторных полей структуру алгебры Ли.

Пусть ${\displaystyle M}$  — симплектическое многообразие. Симплектическая структура ${\displaystyle \omega }$  на ${\displaystyle M}$  позволяет ввести на множестве функций на ${\displaystyle M}$  операцию скобок Пуассона, обозначаемую ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$  или ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$  и задаваемую по правилу^{[1][Notes 2]}

${\displaystyle [F,G]\ {\stackrel {def}{=}}\ L_{\mathbf {F} }G\equiv dG(\mathbf {F} )\equiv \omega (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )}$ 

где ${\displaystyle \mathbf {F} }$  (также ${\displaystyle IdF}$ ) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона ${\displaystyle F}$ . Оно определяется через дифференциал функции ${\displaystyle F}$  и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой ${\displaystyle \omega }$ . Именно, для любого векторного поля ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 

${\displaystyle dF(\mathbf {v} )\ {\stackrel {def}{=}}\ \omega (\mathbf {v} ,\mathbf {F} )}$ 

Алгебра Ли функций Гамильтона

В силу кососимметричности и билинейности ${\displaystyle \omega }$ , скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:

${\displaystyle [F,G]=-[G,F]}$ 

${\displaystyle [F,\lambda G+\mu H]=\lambda [F,G]+\mu [F,H]}$ 

Выражение

${\displaystyle [F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]}$ 

является линейной функцией вторых производных каждой из функций ${\displaystyle F,G,H}$ . Однако,

${\displaystyle {\begin{array}{r}[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=\\-L_{Id[G,H]}F+L_{\mathbf {G} }L_{\mathbf {H} }F-L_{\mathbf {H} }L_{\mathbf {G} }F=\\\left(-L_{Id[G,H]}+L_{[\mathbf {G} ,\mathbf {H} ]}\right)F\end{array}}}$ 

Это выражение не содержит вторых производных ${\displaystyle F}$ . Аналогично, оно не содержит вторых производных ${\displaystyle G}$  и ${\displaystyle H}$ , а потому

${\displaystyle [F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=0}$ 

то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на ${\displaystyle M}$  структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции ${\displaystyle H}$ 

${\displaystyle L_{Id[F,G]}H=L_{[\mathbf {F} ,\mathbf {G} ]}H}$ ,

то есть

${\displaystyle Id[F,G]=[\mathbf {F} ,\mathbf {G} ]}$ 

— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.

Свойства

• Скобки Пуассона невырождены:

${\displaystyle \forall F\not \equiv 0\ \exists H:[F,H]\neq 0}$ 

• Скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Лейбница:

${\displaystyle [F,GH]=[F,G]H+G[F,H]}$ 

• Функция ${\displaystyle F}$  является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом ${\displaystyle H}$  тогда и только тогда, когда ${\displaystyle [F,H]=0}$ 
• Скобка Пуассона двух первых интегралов системы — снова первый интеграл (следствие тождества Якоби).
• Рассмотрим эволюцию гамильтоновой системы с функцией Гамильтона ${\displaystyle H}$ , заданной на многообразии ${\displaystyle M}$ . Полная производная по времени от произвольной функции ${\displaystyle f\colon M\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  запишется в виде

${\displaystyle {\begin{array}{cl}{\frac {d}{dt}}f=&{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\dot {q}}{\frac {\partial f}{\partial q}}+{\dot {p}}{\frac {\partial f}{\partial p}}=\\&{\frac {\partial f}{\partial t}}+L_{\mathbf {H} }f=\\&{\frac {\partial }{\partial t}}f+[H,f]\end{array}}}$ 

• В канонических координатах ${\displaystyle (q^{i},p_{j})}$  скобки Пуассона принимают вид^{[Notes 3]}

${\displaystyle [f,g]=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}}}\right)}$ 

1. ↑ ^{1 2} Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов / Под ред. Е. С. Пятницкого. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-Х.
2. ↑ Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
3. ↑ Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.