Скобка Пуассона

Разделы:

В классической механике ско́бки Пуассо́на[1] (также возможно ско́бка Пуассо́на[2] и скобки Ли ) — это оператор, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона.

Содержание

1 Скобки Пуассона векторных полей
- 1.1 Свойства
2 Скобки Пуассона функций
- 2.1 Алгебра Ли функций Гамильтона
- 2.2 Свойства
3 Примечания
4 Литература

Скобки Пуассона векторных полей

Пусть v{displaystyle v}

$v$ и u{displaystyle u} $u$ — векторные поля на M{displaystyle M} $M$ , Lv{displaystyle L_{v}} $L_{v}$ — оператор производной Ли по направлению векторного поля v{displaystyle v} $v$ . Коммутатор операторов Lv{displaystyle L_{v}} $L_{v}$ и Lu{displaystyle L_{u}} $L_{u}$ есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле [v,u]{displaystyle [v,u]} $[v,u]$ , для которого[3][Notes 1]

LvLu−LuLv≡[Lv,Lu]=L[v,u]{displaystyle L_{v}L_{u}-L_{u}L_{v}equiv [L_{v},L_{u}]=L_{[v,u]}}

L_{v}L_{u}-L_{u}L_{v}equiv [L_{v},L_{u}]=L_{{[v,u]}}

Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:

[v,u]=Lvu{displaystyle [v,u]=L_{v}u}

[v,u]=L_{v}u

В голономном базисе оно принимает вид

[v,u]μ=vα∂αuμ−uα∂αvμ{displaystyle [v,u]^{mu }=v^{alpha }partial _{alpha }u^{mu }-u^{alpha }partial _{alpha }v^{mu }}

[v,u]^{mu }=v^{alpha }partial _{alpha }u^{mu }-u^{alpha }partial _{alpha }v^{mu }

Свойства

Линейность: [αv+βu,w]=α[v,w]+β[u,w]{displaystyle [alpha v+beta u,w]=alpha [v,w]+beta [u,w]} ${displaystyle [alpha v+beta u,w]=alpha [v,w]+beta [u,w]}$
Антикоммутативность: [u,v]=−[v,u]{displaystyle [u,v]=-[v,u]} ${displaystyle [u,v]=-[v,u]}$
Тождество Якоби: [u,[v,w]]+[v,[w,u]]+[w,[u,v]]=0{displaystyle [u,[v,w]]+[v,[w,u]]+[w,[u,v]]=0} ${displaystyle [u,[v,w]]+[v,[w,u]]+[w,[u,v]]=0}$
Операция коммутирования задаёт на множестве векторных полей структуру алгебры Ли.

Скобки Пуассона функций

Пусть M{displaystyle M}

$M$ — симплектическое многообразие. Симплектическая структура ω{displaystyle omega } $omega$ на M{displaystyle M} $M$ позволяет ввести на множестве функций на M{displaystyle M} $M$ операцию скобок Пуассона, обозначаемую {⋅,⋅}{displaystyle {cdot ,cdot }} ${cdot ,cdot }$ или [⋅,⋅]{displaystyle [cdot ,cdot ]} $[cdot ,cdot ]$ и задаваемую по правилу[1][Notes 2]

[F,G] =def LFG≡dG(F)≡ω(F,G){displaystyle [F,G] {stackrel {def}{=}} L_{mathbf {F} }Gequiv dG(mathbf {F} )equiv omega (mathbf {F} ,mathbf {G} )}

{displaystyle [F,G] {stackrel {def}{=}} L_{mathbf {F} }Gequiv dG(mathbf {F} )equiv omega (mathbf {F} ,mathbf {G} )}

где F{displaystyle mathbf {F} }

$mathbf {F}$ (также IdF{displaystyle IdF} $IdF$ ) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона F{displaystyle F} $F$ . Оно определяется через дифференциал функции F{displaystyle F} $F$ и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой ω{displaystyle omega } $omega$ . Именно, для любо
го векторного поля v{displaystyle mathbf {v} } ${mathbf v}$

dF(v) =def ω(v,F){displaystyle dF(mathbf {v} ) {stackrel {def}{=}} omega (mathbf {v} ,mathbf {F} )}

{displaystyle dF(mathbf {v} ) {stackrel {def}{=}} omega (mathbf {v} ,mathbf {F} )}

Алгебра Ли функций Гамильтона

В силу кососимметричности и билинейности ω{displaystyle omega }

$omega$ , скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:

[F,G]=−[G,F]{displaystyle [F,G]=-[G,F]}

[F,G]=-[G,F]

[F,λG+μH]=λ[F,G]+μ[F,H]{displaystyle [F,lambda G+mu H]=lambda [F,G]+mu [F,H]}

[F,lambda G+mu H]=lambda [F,G]+mu [F,H]

Выражение

[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]{displaystyle [F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]}

[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]

является линейной функцией вторых производных каждой из функций F,G,H{displaystyle F,G,H}

$F,G,H$ . Однако,

[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=−LId[G,H]F+LGLHF−LHLGF=(−LId[G,H]+L[G,H])F{displaystyle {begin{array}{r}[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=\-L_{Id[G,H]}F+L_{mathbf {G} }L_{mathbf {H} }F-L_{mathbf {H} }L_{mathbf {G} }F=\left(-L_{Id[G,H]}+L_{[mathbf {G} ,mathbf {H} ]}right)Fend{array}}}

{begin{array}{r}[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=\-L_{{Id[G,H]}}F+L_{{{mathbf G}}}L_{{{mathbf H}}}F-L_{{{mathbf H}}}L_{{{mathbf G}}}F=\left(-L_{{Id[G,H]}}+L_{{[{mathbf G},{mathbf H}]}}right)Fend{array}}

Это выражение не содержит вторых производных F{displaystyle F}

$F$ . Аналогично, оно не содержит вторых производных G{displaystyle G} $G$ и H{displaystyle H} $H$ , а потому

[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=0{displaystyle [F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=0}

[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=0

то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на M{displaystyle M}

$M$ структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции H{displaystyle H} $H$

LId[F,G]H=L[F,G]H{displaystyle L_{Id[F,G]}H=L_{[mathbf {F} ,mathbf {G} ]}H}

L_{{Id[F,G]}}H=L_{{[{mathbf F},{mathbf G}]}}H

то есть

Id[F,G]=[F,G]{displaystyle Id[F,G]=[mathbf {F} ,mathbf {G} ]}

Id[F,G]=[{mathbf F},{mathbf G}]

— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.

Свойства

Скобки Пуассона невырождены:

∀F≢0 ∃H:[F,H]≠0{displaystyle forall Fnot equiv 0 exists H:[F,H]neq 0}

forall Fnot equiv 0 exists H:[F,H]neq 0

Скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Лейбница:

[F,GH]=[F,G]H+G[F,H]{displaystyle [F,GH]=[F,
G]H+G[F,H]}

[F,GH]=[F,G]H+G[F,H]

Функция F{displaystyle F} $F$ является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом H{displaystyle H} $H$ тогда и только тогда, когда [F,H]=0{displaystyle [F,H]=0} $[F,H]=0$
Скобка Пуассона двух первых интегралов системы — снова первый интеграл (следствие тождества Якоби).
Рассмотрим эволюцию гамильтоновой системы с функцией Гамильтона H{displaystyle H} $H$ , заданной на многообразии M{displaystyle M} $M$ . Полная производная по времени от произвольной функции f:M×R→R{displaystyle fcolon Mtimes mathbb {R} to mathbb {R} } $fcolon Mtimes mathbb{R} to mathbb{R}$ запишется в виде

ddtf=∂f∂t+q˙∂f∂q+p˙∂f∂p=∂f∂t+LHf=∂∂tf+[H,f]{displaystyle {begin{array}{cl}{frac {d}{dt}}f=&{frac {partial f}{partial t}}+{dot {q}}{frac {partial f}{partial q}}+{dot {p}}{frac {partial f}{partial p}}=\&{frac {partial f}{partial t}}+L_{mathbf {H} }f=\&{frac {partial }{partial t}}f+[H,f]end{array}}}

{begin{array}{cl}{frac {d}{dt}}f=&{frac {partial f}{partial t}}+{dot q}{frac {partial f}{partial q}}+{dot p}{frac {partial f}{partial p}}=\&{frac {partial f}{partial t}}+L_{{{mathbf H}}}f=\&{frac {partial }{partial t}}f+[H,f]end{array}}

В канонических координатах (qi,pj){displaystyle (q^{i},p_{j})} $(q^{i},p_{j})$ скобки Пуассона принимают вид[Notes 3]

[f,g]=∑i=1N(−∂f∂qi∂g∂pi+∂f∂pi∂g∂qi){displaystyle [f,g]=sum _{i=1}^{N}left(-{frac {partial f}{partial q^{i}}}{frac {partial g}{partial p_{i}}}+{frac {partial f}{partial p_{i}}}{frac {partial g}{partial q^{i}}}right)}

[f,g]=sum _{{i=1}}^{{N}}left(-{frac {partial f}{partial q^{{i}}}}{frac {partial g}{partial p_{{i}}}}+{frac {partial f}{partial p_{{i}}}}{frac {partial g}{partial q^{{i}}}}right)

Примечания

↑ Некоторые авторы [Арнольд] используют определение с противоположным знаком, при этом также изменяется знак в определении скобок Пуассона функций (см. ниже). Этот подход продиктован, по-видимому, стремлением сохранить как естественные геометрические определения гамильтоновых полей и их свойств, так и традиционную форму записи скобок Пуассона в координатах. Однако, при этом разрушается естественная симметрия между коммутаторами производных Ли, векторов и функций. Дальнейшие проблемы возникают при переходе к общим понятиям дифференциальной геометрии (формы, векторнозначные формы, различные дифференцирования), где отсутствие указанной симметрии неоправданно усложняет формулы. Поэтому в данной статье будут использованы другие определения, с оговорками.
↑ В некоторых книгах [Арнольд] принято определение с противоположным знаком, а именно [F,G] =def dF(G)=−LFG.{displaystyle [F,G] {stackrel {def}{=}} dF(mathbf {G} )={-L_{mathbf {F} }G.}} $[F,G] {stackrel {def}{=}} dF({mathbf G})={-L_{{{mathbf F}}}G.}$ При этом также определяется с противоположным знаком коммутатор векторных полей (см. выше), а выражение для скобки Пуассона в координатах принимает традиционный вид, однако появляется лишний минус в выражении LId[F,G]=−L[F,G]{displaystyle L_{Id[F,G]}=-L_{[mathbf {F} ,mathbf {G} ]}} $L_{{Id[F,G]}}=-L_{{[{mathbf F},{mathbf G}]}}$ и формуле для коммутатора полей.
↑ В [Арнольд], [Гантмахер] выражение имеет противоположный знак (аналогично вышеуказанным замечаниям). Традиционно выражение записывают как в [Гантмахер].

Литература

↑ 1 2 Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов / Под ред. Е. С. Пятницкого. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-Х.
↑ Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
↑ Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.