Скалярное произведение

Будем говорить, что в вещественном или комплексном векторном пространстве ${\displaystyle L}$  определено скалярное произведение, если каждой паре векторов ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$  из ${\displaystyle L}$  поставлено в соответствие число ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ , удовлетворяющее следующим аксиомам.

1. Для любых трёх элементов ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} }$  пространства ${\displaystyle \mathbb {L} }$  и любых чисел ${\displaystyle \alpha ,\beta }$  справедливо равенство: ${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} _{1}+\beta \mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} _{1},\mathbf {b} )+\beta (\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )}$  (линейность скалярного произведения по первому аргументу).
2. Для любых ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$  справедливо равенство ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\overline {(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}}}$ , где черта означает комплексное сопряжение.
3. Для любого ${\displaystyle \mathbf {a} }$  имеем: ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )\geqslant 0}$ , причем ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=0}$  только при ${\displaystyle \mathbf {a} =0}$  (положительная определённость скалярного произведения).

Заметим, что из аксиомы 2 следует, что ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}$  — вещественное число. Поэтому аксиома 3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения. Если аксиома 3 не выполняется, то произведение называется индефинитным или неопределённым.

В ${\displaystyle n}$ -мерном вещественном евклидовом пространстве векторы определяются своими координатами — наборами ${\displaystyle n}$  вещественных чисел в ортонормированном базисе. Определить скалярное произведение векторов ${\displaystyle \mathbf {a} =\{a_{1},a_{2}\dots a_{n}\},\mathbf {b} =\{b_{1},b_{2}\dots b_{n}\}}$  можно так^[4]:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_{n}b_{n}}$ 

Проверка показывает, что все три аксиомы выполнены.

Например, скалярное произведение векторов ${\displaystyle \{1,3,-5\}}$  и ${\displaystyle \{4,-2,-1\}}$  будет вычислено так:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ \{1,3,-5\}\cdot \{4,-2,-1\}&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}}$ 

Для комплексных векторов ${\displaystyle \mathbf {a} =\{a_{1},a_{2}\dots a_{n}\},\mathbf {b} =\{b_{1},b_{2}\dots b_{n}\}}$  определим аналогично^[6]:

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\overline {b_{k}}}=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}}$ .

Пример (для ${\displaystyle n=2}$ ): ${\displaystyle \{1+i,2\}\cdot \{2+i,i\}=(1+i)\cdot ({\overline {2+i}})+2\cdot {\overline {i}}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i.}$ 

В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия^[7]:

Длина вектора, под которой обычно понимается его евклидова норма:

${\displaystyle |\mathbf {a} |={\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}}$ 

(термин 'длина' обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).

Углом ${\displaystyle \varphi }$  между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\ (0\leqslant \varphi \leqslant \pi )}$ 

Данные определения позволяют сохранить формулу: ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\varphi )}$  и в общем случае. Корректность формулы для косинуса гарантирует неравенство Коши — Буняковского^[8]:

В случае, если пространство является псевдоевклидовым, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

${\displaystyle |(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )|=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\operatorname {ch} \varphi .}$ 

• Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.
• Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.
  • При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.
• Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

• Теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:

  ${\displaystyle |BC|^{2}={\vec {BC}}^{2}=({\vec {AC}}-{\vec {AB}})^{2}=\langle {\vec {AC}}-{\vec {AB}},{\vec {AC}}-{\vec {AB}}\rangle ={\vec {AC}}^{2}+{\vec {AB}}^{2}-2\langle {\vec {AC}},{\vec {AB}}\rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|\cos {\hat {A}}}$ 

• Оценка угла между векторами:

  в формуле ${\displaystyle (\mathbf {\mathbf {a} } ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}}$  знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.

• Проекция вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$  на направление, определяемое единичным вектором ${\displaystyle \mathbf {e} }$ :

  ${\displaystyle a_{e}=(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}}$ , так как ${\displaystyle |\mathbf {e} |=1.}$ 

• Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора ${\displaystyle \mathbf {a} \ }$  и ${\displaystyle \mathbf {b} \ }$ , равна

${\displaystyle {\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b} )-(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )^{2}}}\ }$ 

Скалярное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году^[9] одновременно с векторным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как скалярная и векторная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю^[10].

В пространстве измеримых интегрируемых с квадратами на некоторой области Ω вещественных или комплексных функций можно ввести положительно определённое скалярное произведение:

${\displaystyle (\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}d\Omega }$ 

При использовании неортонормированных базисов скалярное произведение выражается через компоненты векторов с участием метрического тензора^[11] ${\displaystyle g_{ij}}$ :

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum g_{ij}a^{i}b^{j}}$ 

При этом сама метрика (говоря точнее, её представление в данном базисе) так связана со скалярными произведениями базисных векторов ${\displaystyle f_{i}\ }$ :

${\displaystyle g_{ij}=(\mathbf {f} _{i},\mathbf {f} _{j})}$ 

Аналогичные конструкции скалярного произведения можно вводить и на бесконечномерных пространствах, например, на пространствах функций:

${\displaystyle (\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}K(x_{1},x_{2})f(x_{1})g(x_{2})d(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}$ 

${\displaystyle (\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }K(x)f(x)g(x)d\Omega }$ 

где К — положительно определённая, в первом случае симметричная относительно перестановки аргументов (при комплексных x — эрмитова) функция (если нужно иметь обычное симметричное положительно определённое скалярное произведение).

Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свёртка по повторяющимся индексам.

• Гильбертово пространство
• Векторное произведение
• Внешнее произведение
• Псевдоскалярное произведение
• Смешанное произведение

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 4-е изд. — М.: Наука, 1971. — 272 с.

• Емелин А. Скалярное произведение векторов  (неопр.). Дата обращения: 14 ноября 2019.