Скалярное произведение

Разделы:

Скаля́рное произведе́ние (иногда называемое внутренним произведением) — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, не зависящее от выбора системы координат.

Скалярное произведение векторов (a,b){displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )} ${displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )}$ равно произведению |a||b|cos⁡(θ){displaystyle |mathbf {a} ||mathbf {b} |cos(theta )} ${displaystyle |mathbf {a} ||mathbf {b} |cos(theta )}$

Обычно для скалярного произведения векторов a{displaystyle mathbf {a} } $mathbf {a}$ и b{displaystyle mathbf {b} } $mathbf {b}$ используется одно из следующих обозначений.

(a,b){displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )}

{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )}

a⋅b, a→⋅b→{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} , {vec {a}}cdot {vec {b}}}

{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} , {vec {a}}cdot {vec {b}}}

или просто ab{displaystyle mathbf {a} mathbf {b} }

{displaystyle mathbf {a} mathbf {b} }

⟨a,b⟩{displaystyle langle mathbf {a} ,mathbf {b} rangle }

langle mathbf {a} ,mathbf {b} rangle

или (обозначение Дирака, применяемое в квантовой механике для векторов состояния[1]): ⟨a|b⟩{displaystyle langle a|brangle }

langle a|brangle

В простейшем случае обычного пространства скалярное произведение ненулевых векторов a{displaystyle mathbf {a} } $mathbf {a}$ и b{displaystyle mathbf {b} } $mathbf {b}$ определяется как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними[2]:

(a,b)=|a||b|cos⁡(θ){displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=|mathbf {a} ||mathbf {b} |cos(theta )}

{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=|mathbf {a} ||mathbf {b} |cos(theta )}

Равносильное определение: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора (см. рисунок). Если хотя бы один из векторов нулевой, то произведение считается равным нулю[3].

У понятия скалярного произведения существует также большое количество обобщений для различных векторных пространств, то есть для множеств векторов с операциями сложения и умножения на скаляры[⇨]. Данное выше геометрическое определение скалярного произведения в общем случае непригодно, так как неясно, что подразумевается под длинами векторов и величиной угла между ними. Поэтому в современной математике используется обратный подход: аксиоматически определяется скалярное произведение, а уже через него — длины и углы[4]. В частности, скалярное произведение определяется для комплексных векторов, многомерных и бесконечномерных пространств, в тензорной алгебре.

Скалярное произведение и его обобщения играют чрезвычайно большую роль в векторной алгебре, теории многообразий, механике и физике. Например, работа силы при механическом перемещении равна скалярному произведения вектора силы на вектор перемещения[5].

Содержание

1 Определение
2 Определение в евклидовом пространстве
3 Связанные определения
4 Свойства
5 История
6 Вариации и обобщения
7 См. также
8 Примечания
9 Литература
10 Ссылки

Определение

Будем говорить, что в вещественном или комплексном векторном пространстве L{displaystyle L}

$L$ определено скалярное произведение, если каждой паре векторов a,b{displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} } ${displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} }$ из L{displaystyle L} $L$ поставлено в соответствие число (a,b){displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )} ${displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )}$ , удовлетворяющее следующим аксиомам.

Для любых трёх элементов a1,a2,b{displaystyle mathbf {a} _{1},mathbf {a} _{2},mathbf {b} } ${displaystyle mathbf {a} _{1},mathbf {a} _{2},mathbf {b} }$ пространства L{displaystyle mathbb {L} } $mathbb {L}$ и любых чисел α,β{displaystyle alpha ,beta } $alpha ,beta$ справедливо равенство: (αa1+βa2,b)=α(a1,b)+β(a2,b){displaystyle (alpha mathbf {a} _{1}+beta mathbf {a} _{2},mathbf {b} )=alpha (mathbf {a} _{1},mathbf {b} )+beta (mathbf {a} _{2},mathbf {b} )} ${displaystyle (alpha mathbf {a} _{1}+beta mathbf {a} _{2},mathbf {b} )=alpha (mathbf {a} _{1},mathbf {b} )+beta (mathbf {a} _{2},mathbf {b} )}$ (линейность скалярного произведения по первому аргументу).
Для любых a,b{displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} } ${displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} }$ справедливо равенство (a,b)=(b,a)¯{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )={overline {(mathbf {b} ,mathbf {a} )}}} ${displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )={overline {(mathbf {b} ,mathbf {a} )}}}$ , где черта означает комплексное сопряжение.
Для любого a{displaystyle mathbf {a} } ${displaystyle mathbf {a} }$ имеем: (a,a)⩾0{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {a} )geqslant 0} ${displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {a} )geqslant 0}$ , причем (a,a)=0{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {a} )=0} ${displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {a} )=0}$ только при a=0{displaystyle mathbf {a} =0} ${displaystyle mathbf {a} =0}$ (положительная определённость скалярного произведения).

Заметим, что из аксиомы 2 следует, что (a,a){displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {a} )}

${displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {a} )}$ — вещественное число. Поэтому аксиома 3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения. Если аксиома 3 не выполняется, то произведение называется индефинитным или неопределённым.

Определение в евклидовом пространстве

В n{displaystyle n}

$n$ -мерном вещественном евклидовом пространстве векторы определяются своими координатами — наборами n{displaystyle n} $n$ вещественных чисел в ортонормированном базисе. Определить скалярное произведение векторов a={a1,a2…an},b={b1,b2…bn}{displaystyle mathbf {a} ={a_{1},a_{2}dots a_{n}},mathbf {b} ={b_{1},b_{2}dots b_{n}}} ${displaystyle mathbf {a} ={a_{1},a_{2}dots a_{n}},mathbf {b} ={b_{1},b_{2}dots b_{n}}}$ можно так[4]:

(a,b)=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+dots +a_{n}b_{n}}

{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+dots +a_{n}b_{n}}

Проверка показывает, что все три аксиомы выполнены.

Например, скалярное произведение векторов {1,3,−5}{displaystyle {1,3,-5}}

${displaystyle {1,3,-5}}$ и {4,−2,−1}{displaystyle {4,-2,-1}} ${displaystyle {4,-2,-1}}$ будет вычислено так:

{1,3,−5}⋅{4,−2,−1}=1⋅4+3⋅(−2)+(−5)⋅(−1)=4−6+5=3.{displaystyle {begin{aligned} {1,3,-5}cdot {4,-2,-1}&=1cdot 4+3cdot (-2)+(-5)cdot (-1)\&=4-6+5\&=3.end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned} {1,3,-5}cdot {4,-2,-1}&=1cdot 4+3cdot (-2)+(-5)cdot (-1)\&=4-6+5\&=3.end{aligned}}}

Для комплексных векторов a={a1,a2…an},b={b1,b2…bn}{displaystyle mathbf {a} ={a_{1},a_{2}dots a_{n}},mathbf {b} ={b_{1},b_{2}dots b_{n}}}

${displaystyle mathbf {a} ={a_{1},a_{2}dots a_{n}},mathbf {b} ={b_{1},b_{2}dots b_{n}}}$ определим аналогично[6]:

(a,b)=∑k=1nakbk¯=a1b1¯+a2b2¯+⋯+anbn¯{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=sum _{k=1}^{n}a_{k}{overline {b_{k}}}=a_{1}{overline {b_{1}}}+a_{2}{overline {b_{2}}}+cdots +a_{n}{overline {b_{n}}}}

{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=sum _{k=1}^{n}a_{k}{overline {b_{k}}}=a_{1}{overline {b_{1}}}+a_{2}{overline {b_{2}}}+cdots +a_{n}{overline {b_{n}}}}

Пример (для n=2{displaystyle n=2}

$n=2$ ): {1+i,2}⋅{2+i,i}=(1+i)⋅(2+i¯)+2⋅i¯=(1+i)⋅(2−i)+2⋅(−i)=3−i.{displaystyle {1+i,2}cdot {2+i,i}=(1+i)cdot ({overline {2+i}})+2cdot {overline {i}}=(1+i)cdot (2-i)+2cdot (-i)=3-i.} ${displaystyle {1+i,2}cdot {2+i,i}=(1+i)cdot ({overline {2+i}})+2cdot {overline {i}}=(1+i)cdot (2-i)+2cdot (-i)=3-i.}$

Связанные определения

В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия[7]:

Длина вектора, под которой обычно понимается его евклидова норма:

|a|=(a,a){displaystyle |mathbf {a} |={sqrt {(mathbf {a} ,mathbf {a} )}}}

{displaystyle |mathbf {a} |={sqrt {(mathbf {a} ,mathbf {a} )}}}

(термин ‘длина’ обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).

Углом φ{displaystyle varphi }

$varphi$ между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

cos⁡φ=(a,b)|a||b| (0⩽φ⩽π){displaystyle cos varp
hi ={frac {(mathbf {a} ,mathbf {b} )}{|mathbf {a} ||mathbf {b} |}} (0leqslant varphi leqslant pi )}

{displaystyle cos varphi ={frac {(mathbf {a} ,mathbf {b} )}{|mathbf {a} ||mathbf {b} |}} (0leqslant varphi leqslant pi )}

Данные определения позволяют сохранить формулу: (a,b)=|a||b|cos⁡(φ){displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=|mathbf {a} ||mathbf {b} |cos(varphi )}

${displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=|mathbf {a} ||mathbf {b} |cos(varphi )}$ и в общем случае. Корректность формулы для косинуса гарантирует неравенство Коши — Буняковского [8]:

Для любых элементов a,b{displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} }

${displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} }$ векторного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство:

|(a,b)|2⩽(a,a)(b,b){displaystyle vert (mathbf {a} ,mathbf {b} )vert ^{2}leqslant (mathbf {a} ,mathbf {a} )(mathbf {b} ,mathbf {b} )}

{displaystyle vert (mathbf {a} ,mathbf {b} )vert ^{2}leqslant (mathbf {a} ,mathbf {a} )(mathbf {b} ,mathbf {b} )}

В случае, если пространство является псевдоевклидовым, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

|(a,b)|=|a||b|ch⁡φ.{displaystyle |(mathbf {a} ,mathbf {b} )|=|mathbf {a} ||mathbf {b} |operatorname {ch} varphi .}

{displaystyle |(mathbf {a} ,mathbf {b} )|=|mathbf {a} ||mathbf {b} |operatorname {ch} varphi .}

Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.
Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.
- При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.
Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

Свойства

Теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:

|BC|2=BC→2=(AC→−AB→)2=⟨AC→−AB→,AC→−AB→⟩=AC→2+AB→2−2⟨AC→,AB→⟩=|AB|2+|AC|2−2|AB||AC|cos⁡A^{displaystyle |BC|^{2}={vec {BC}}^{2}=({vec {AC}}-{vec {AB}})^{2}=langle {vec {AC}}-{vec {AB}},{vec {AC}}-{vec {AB}}rangle ={vec {AC}}^{2}+{vec {AB}}^{2}-2langle {vec {AC}},{vec {AB}}rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|cos {hat {A}}} $|BC|^{2}={vec {BC}}^{2}=({vec {AC}}-{vec {AB}})^{2}=langle {vec {AC}}-{vec {AB}},{vec {AC}}-{vec {AB}}rangle ={vec {AC}}^{2}+{vec {AB}}^{2}-2langle {vec {AC}},{vec {AB}}rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|cos {hat {A}}$
Оценка угла между векторами:

в формуле (a,b)=|a|⋅|b|⋅cos⁡∠(a,b){displaystyle (mathbf {mathbf {a} } ,mathbf {b} )=|mathbf {a} |cdot |mathbf {b} |cdot cos angle {(mathbf {a} ,mathbf {b} )}} ${displaystyle (mathbf {mathbf {a} } ,mathbf {b} )=|mathbf {a} |cdot |mathbf {b} |cdot cos angle {(mathbf {a} ,mathbf {b} )}}$ знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.
Проекция вектора a{displaystyle mathbf {a} } $mathbf {a}$ на направление, определяемое единичным вектором e{displaystyle mathbf {e} } $mathbf {e}$ :

ae=(a,e)=|a||e|cos⁡∠(a,e)=|a|cos⁡∠(a,e){displaystyle a_{e}=(mathbf {a} ,mathbf {e} )=|mathbf {a} ||mathbf {e} |cos angle {(mathbf {a} ,mathbf {e} )}=|mathbf {a} |cos angle {(mathbf {a} ,mathbf {e} )}} ${displaystyle a_{e}=(mathbf {a} ,mathbf {e} )=|mathbf {a} ||mathbf {e} |cos angle {(mathbf {a} ,mathbf {e} )}=|mathbf {a} |cos angle {(mathbf {a} ,mathbf {e} )}}$ , так как |e|=1.{displaystyle |mathbf {e} |=1.} ${displaystyle |mathbf {e} |=1.}$
Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора a {displaystyle mathbf {a} } $mathbf {a}$ и b {displaystyle mathbf {b} } $mathbf {b}$ , равна

(a,a)(b,b)−(a,b)2 {displaystyle {sqrt {(mathbf {a} ,mathbf {a} )(mathbf {b} ,mathbf {b} )-(mathbf {a} ,mathbf {b} )^{2}}} }

{displaystyle {sqrt {(mathbf {a} ,mathbf {a} )(mathbf {b} ,mathbf {b} )-(mathbf {a} ,mathbf {b} )^{2}}} }

История

Скалярное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году [9] одновременно с векторным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как скалярная и векторная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю[10].

Вариации и обобщения

В пространстве измеримых интегрируемых с квадратами на некоторой области Ω вещественных или комплексных функций можно ввести положительно определённое скалярн
ое произведение:

(f,g)=∫Ωf(x)g(x)¯dΩ{displaystyle (mathbf {f} ,mathbf {g} )=int limits _{Omega }f(x){overline {g(x)}}dOmega }

{displaystyle (mathbf {f} ,mathbf {g} )=int limits _{Omega }f(x){overline {g(x)}}dOmega }

При использовании неортонормированных базисов скалярное произведение выражается через компоненты векторов с участием метрического тензора [11]gij{displaystyle g_{ij}}

$g_{ij}$ :

(a,b)=∑gijaibj{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=sum g_{ij}a^{i}b^{j}}

{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=sum g_{ij}a^{i}b^{j}}

При этом сама метрика (говоря точнее, её представление в данном базисе) так связана со скалярными произведениями базисных векторов fi {displaystyle f_{i} }

$f_{i}$ :

gij=(fi,fj){displaystyle g_{ij}=(mathbf {f} _{i},mathbf {f} _{j})}

{displaystyle g_{ij}=(mathbf {f} _{i},mathbf {f} _{j})}

Аналогичные конструкции скалярного произведения можно вводить и на бесконечномерных пространствах, например, на пространствах функций:

(f,g)=∫(Ω1×Ω2)K(x1,x2)f(x1)g(x2)d(Ω1×Ω2){displaystyle (mathbf {f} ,mathbf {g} )=int limits _{(Omega _{1}times Omega _{2})}K(x_{1},x_{2})f(x_{1})g(x_{2})d(Omega _{1}times Omega _{2})}

{displaystyle (mathbf {f} ,mathbf {g} )=int limits _{(Omega _{1}times Omega _{2})}K(x_{1},x_{2})f(x_{1})g(x_{2})d(Omega _{1}times Omega _{2})}

(f,g)=∫ΩK(x)f(x)g(x)dΩ{displaystyle (mathbf {f} ,mathbf {g} )=int limits _{Omega }K(x)f(x)g(x)dOmega }

{displaystyle (mathbf {f} ,mathbf {g} )=int limits _{Omega }K(x)f(x)g(x)dOmega }

где К — положительно определённая, в первом случае симметричная относительно перестановки аргументов (при комплексных x — эрмитова) функция (если нужно иметь обычное симметричное положительно определённое скалярное произведение).

Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свёртка по повторяющимся индексам.

См. также

Примечания

↑ Hall B. C. Quantum Theory for Mathematicians. — NY: Springer Science & Business Media, 2013. — xvi + 553 p. — (Graduate Texts in Mathematics. Vol. 267). — ISBN 978-1-4614-7115-8. — P. 85.
↑ Имеется в виду наименьший угол между векторами, не превосходящий π.{displaystyle pi .} $pi.$
↑ Векторная алгебра // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 634.
↑ 1 2 Гельфанд, 1971, с. 30—31.
↑ Тарг С. М. Работа силы // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. — Т. 4. — С. 193—194. — 704 с. — ISBN 5-85270-087-8.
↑ Гельфанд, 1971, с. 86.
↑ Гельфанд, 1971, с. 34.
↑ §9.5. Линейные пространства со скалярным произведением: евклидовы и унитарные
↑ Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101.
↑ Hamilton W. R. On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // Philosophical Magazine. 3rd Series. — London, 1846. — Т. 29. — С. 30.
↑ Гельфанд, 1971, с. 240.

Литература

Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 4-е изд. — М.: Наука, 1971. — 272 с.

Ссылки

Медиафайлы на Викискладе

Емелин А. Скалярное произведение векторов (неопр.). Дата обращения: 14 ноября 2019.