Система счисления

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у арабов.

Под позиционной системой счисления обычно понимается ${\displaystyle b}$ -ичная система счисления, которая определяется целым числом ${\displaystyle b>1}$ , называемым основанием системы счисления. Целое число без знака ${\displaystyle x}$  в ${\displaystyle b}$ -ичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа ${\displaystyle b}$ :

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}}$ , где ${\displaystyle a_{k}}$  — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству ${\displaystyle 0\leq a_{k}\leq (b-1)}$ .

Каждая степень ${\displaystyle b^{k}}$  в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя ${\displaystyle k}$  (номером разряда). Обычно в записи ненулевых чисел начальные нули опускаются.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число ${\displaystyle x}$  записывают в виде последовательности его ${\displaystyle b}$ -ичных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

${\displaystyle x=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}.}$ 

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

${\displaystyle 103=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}.}$ 

Наиболее часто употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

• 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);
• 3 — троичная;
• 8 — восьмеричная;
• 10 — десятичная (используется повсеместно);
• 12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами);
• 16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике);
• 20 — двадцатеричная;
• 60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).

В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

Смешанная система счисления является обобщением ${\displaystyle b}$ -ичной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел ${\displaystyle \{b_{k}\}_{k=0}^{\infty }}$ , и каждое число ${\displaystyle x}$  в ней представляется как линейная комбинация:

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b_{k}}$ , где на коэффициенты ${\displaystyle a_{k}}$ , называемые как и прежде цифрами, накладываются некоторые ограничения.

Записью числа ${\displaystyle x}$  в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса ${\displaystyle k}$ , начиная с первого ненулевого.

В зависимости от вида ${\displaystyle b_{k}}$  как функции от ${\displaystyle k}$  смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными и т. п. Когда ${\displaystyle b_{k}=b^{k}}$  для некоторого ${\displaystyle b}$ , смешанная система счисления совпадает с показательной ${\displaystyle b}$ -ичной системой счисления.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления является представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина «${\displaystyle d}$  дней, ${\displaystyle h}$  часов, ${\displaystyle m}$  минут, ${\displaystyle s}$  секунд» соответствует значению ${\displaystyle d\cdot 24\cdot 60\cdot 60+h\cdot 60\cdot 60+m\cdot 60+s}$  секунд.

Факториальная система счисления

В факториальной системе счисления основаниями являются последовательность факториалов ${\displaystyle b_{k}=k!}$ , и каждое натуральное число ${\displaystyle x}$  представляется в виде:

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{n}d_{k}k!}$ , где ${\displaystyle 0\leq d_{k}\leq k}$ .

Факториальная система счисления используется при декодировании перестановок списками инверсий: имея номер перестановки, можно воспроизвести её саму следующим образом: номер перестановки (нумерация начинается с нуля) записывается в факториальной системе счисления, при этом коэффициент при числе ${\displaystyle i!}$  будет обозначать число инверсий для элемента ${\displaystyle i+1}$  в том множестве, в котором производятся перестановки (число элементов меньших ${\displaystyle i+1}$ , но стоящих правее его в искомой перестановке).

Пример: рассмотрим множество перестановок из 5 элементов, всего их 5! = 120 (от перестановки с номером 0 — (1,2,3,4,5) до перестановки с номером 119 — (5,4,3,2,1)), найдём перестановку с номером 100:

${\displaystyle 100=4!\cdot 4+3!\cdot 0+2!\cdot 2+1!\cdot 0=96+4;}$ 

положим ${\displaystyle t_{i}}$  — коэффициент при числе ${\displaystyle i!}$ , тогда ${\displaystyle t_{4}=4}$ , ${\displaystyle t_{3}=0}$ , ${\displaystyle t_{2}=2}$ , ${\displaystyle t_{1}=0}$ , тогда: число элементов меньших 5, но стоящих правее равно 4; число элементов меньших 4, но стоящих правее равно 0; число элементов меньших 3, но стоящих правее равно 2; число элементов меньших 2, но стоящих правее равно 0 (последний элемент в перестановке «ставится» на единственное оставшееся место) — таким образом, перестановка с номером 100 будет иметь вид: (5,3,1,2,4) Проверка данного метода может быть осуществлена путём непосредственного подсчёта инверсий для каждого элемента перестановки.

Фибоначчиева система счисления

Фибоначчиева система счисления основывается на числах Фибоначчи. Каждое натуральное число ${\displaystyle n}$  в ней представляется в виде:

${\displaystyle n=\sum _{k}f_{k}F_{k}}$ , где ${\displaystyle F_{k}}$  — числа Фибоначчи, ${\displaystyle f_{k}\in \{0,1\}}$ , при этом в коэффициентах ${\displaystyle f_{k}}$  есть конечное количество единиц и не встречаются две единицы подряд.

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Биномиальная система счисления

В шаблон не поддерживает такой синтаксис число x представляется в виде суммы биномиальных коэффициентов:

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{n}{c_{k} \choose k}}$ , где ${\displaystyle 0\leq c_{1}<c_{2}<\dots <c_{n}.}$ 

При всяком фиксированном значении ${\displaystyle n}$  каждое натуральное число представляется уникальным образом.^[1]

Система остаточных классов (СОК)

Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках. СОК определяется набором попарно взаимно простых модулей ${\displaystyle (m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})}$  с произведением ${\displaystyle M=m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{n}}$  так, что каждому целому числу ${\displaystyle x}$  из отрезка ${\displaystyle [0,M-1]}$  ставится в соответствие набор вычетов ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ , где

${\displaystyle x\equiv x_{1}{\pmod {m_{1}}};}$ 

${\displaystyle x\equiv x_{2}{\pmod {m_{2}}};}$ 

…

${\displaystyle x\equiv x_{n}{\pmod {m_{n}}}.}$ 

При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка ${\displaystyle [0,M-1]}$ .

В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в ${\displaystyle [0,M-1]}$ .

Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленных в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям ${\displaystyle (m_{1},m_{1}\cdot m_{2},\dots ,m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{n-1})}$ .

Система счисления Штерна-Броко

Система счисления Штерна-Броко — способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна-Броко.

Единичная система счисления

По-видимому, хронологически первая система счисления каждого народа, овладевшего счётом. Натуральное число изображается путём повторения одного и того же знака (чёрточки или точки). Например, чтобы изобразить число 26, нужно провести 26 чёрточек (или сделать 26 засечек на кости, камне и т. д.). Впоследствии, ради удобства восприятия больших чисел, эти знаки группируются по три или по пять. Затем равнообъёмные группы знаков начинают заменяться каким-либо новым знаком — так возникают прообразы будущих цифр.

Древнеегипетская система счисления

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. Для обозначения чисел 1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶, 10⁷ использовались специальные цифры. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно простой сумме значений цифр, участвующих в его записи.^[2]

Вавилонская система счисления

Алфавитные системы счисления

Алфавитными системами счисления пользовались древние армяне, грузины, греки (ионическая система счисления), арабы (абджадия), евреи (см. гематрия), индийцы (акшара-санкхья) и другие народы Ближнего Востока. В славянских богослужебных книгах греческая алфавитная система была переведена на буквы кириллицы.^[2]

Еврейская система счисления

Еврейская система счисления в качестве цифр использует 22 буквы еврейского алфавита. Каждая буква имеет своё числовое значение от 1 до 400 (см. также Гематрия). Ноль отсутствует. Цифры, записанные таким образом, наиболее часто можно встретить в нумерации лет по иудейскому календарю.

Греческая система счисления

Греческая система счисления, также известная как ионийская или новогреческая — непозиционная система счисления. Алфавитная запись чисел, в которой в качестве символов для счёта, употребляют буквы классического греческого алфавита, а также некоторые буквы доклассической эпохи, такие как ϛ (стигма), ϟ (коппа) и ϡ (сампи).

Римская система счисления

Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:
I обозначает 1,
V — 5,
X — 10,
L — 50,
C — 100,
D — 500,
M — 1000

Например, II = 1 + 1 = 2
здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.

На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например:

IV = 4, в то время как:
VI = 6

Система счисления майя

Майя использовали 20-ичную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году.

Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки).

Кипу инков

Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы^[3], так и не числовых записей в двоичной системе кодирования^[4]. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных^[5]. Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта как двойная запись^[6].

• История математики
• Алфавитная запись чисел
• Число
• Счёты
• Логарифмическая система счисления

• Гашков С. Б. Системы счисления и их применение. — М.: МЦНМО, 2004. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
• Фомин С. В. Системы счисления. — М.: Наука, 1987. — 48 с. — (Популярные лекции по математике).
• Яглом И. Системы счисления // Квант. — 1970. — № 6. — С. 2—10.
• Цифры и системы счисления. Онлайн Энциклопедия Кругосвет.
• Стахов А. Роль систем счисления в истории компьютеров. Архивировано 1 мая 2009 года.
• Микушин А. В. Системы счисления. Курс лекций «Цифровые устройства и микропроцессоры»
• Butler J. T., Sasao T. Redundant Multiple-Valued Number Systems В статье рассмотрены системы счисления, использующие цифры больше единицы и допускающие избыточность в представлении чисел