Симплектическое многообразие

Дифференциальная 2-форма ${\displaystyle \omega }$  называется симплектической структурой, если она невырождена и замкнута, то есть её внешняя производная равна нулю:

${\displaystyle d\omega =0}$ 

и для любого касательного вектора ${\displaystyle v\in T_{x}M}$ 

${\displaystyle \imath _{v}\omega \neq 0}$ 

где ${\displaystyle \imath _{v}}$  — внутреннее умножение на вектор ${\displaystyle v}$ .

Многообразие ${\displaystyle M}$  называется симплектическим, если на нём задана симплектическая структура.

Пусть ${\displaystyle H\colon M\to {\mathbb {R} }}$  — произвольная функция на симплектическом многообразии. Симплектическая структура ставит в соответствие 1-формам на ${\displaystyle M}$  особый класс векторных полей, называемых гамильтоновыми, по правилу

${\displaystyle dH=\imath _{v}\omega }$ 

В силу невырожденности формы ${\displaystyle \omega }$  векторное поле ${\displaystyle v}$  определено однозначно, обозначим его ${\displaystyle IdH}$ . В канонических координатах это отображение принимает вид

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}}$ 

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}}$ 

соответствующий уравнениям Гамильтона, при этом ${\displaystyle H}$  называется функцией Гамильтона или гамильтонианом. Скобки Пуассона превращают множество гамильтонианов на ${\displaystyle M}$  в алгебру Ли и определены по правилу

${\displaystyle [F,G]=\omega (IdF,IdG)}$ 

• Диффеоморфизм симплектических многообразий ${\displaystyle f\colon M\to N}$  называется симплектоморфизмом, если он сохраняет симплектическую структуру.

• Теорема Дарбу: все симплектические многообразия локально симплектоморфны. Таким образом, в окрестности любой точки многообразия можно выбрать канонические координаты, называемые также координатами Дарбу, в которых симплектическая структура принимает вид

${\displaystyle \omega =d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q} }$ 

При этом в касательном пространстве каждой точки в рассматриваемой окрестности оказывается выбран базис Дарбу.

• Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру:

${\displaystyle \ L_{IdH}\,\omega =0}$ 

Здесь ${\displaystyle L_{v}}$  — производная Ли по векторному полю ${\displaystyle v}$ . Таким образом, гамильтонов фазовый поток является симплектоморфизмом.

С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Многообразие называется мультисимплектическим степени ${\displaystyle k}$ , если на нём задана замкнутая невырожденная дифференциальная k-форма.

• Симплектическое пространство

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-ое изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
• Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Изд. МГУ, 1988. — 414с.