Символы Кристоффеля

Введение

Наглядное представление о символах Кристоффеля можно получить на примере полярной системы координат. В этой системе координатами точки являются расстояние ${\displaystyle {r}}$  от неё до полюса и угол ${\displaystyle \varphi }$  направления от полярной оси.

Координатами вектора, как и в прямоугольной системе координат, следует считать дифференциалы (бесконечно малые приращения) этих величин: ${\displaystyle ({\rm {d}}r,\,{\rm {d}}\varphi )}$ .

Пусть есть вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$  с координатами ${\displaystyle (a,\,\alpha )}$ , где ${\displaystyle a}$  имеет геометрический смысл проекции вектора ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$  на радиальный луч (проходящий через начало вектора), а ${\displaystyle \alpha }$  — угол, под которым вектор виден из полюса.

В прямоугольной системе координат компоненты вектора не меняются при параллельном переносе. В полярной системе координат это не так (см. рисунки). Символы Кристоффеля как раз и выражают изменение компонент вектора при его параллельном переносе.

Параллельный перенос вдоль координатных линий

При смещении вектора вдоль радиального луча на расстояние ${\displaystyle {\rm {d}}r}$ , его компонента ${\displaystyle a}$ , очевидно, не меняется, но вторая его координата (${\displaystyle \alpha }$ ) уменьшается (рис. 1). Величина вектора ${\displaystyle |A|^{2}=a^{2}+r^{2}\alpha ^{2}}$  остаётся неизменной, поэтому ${\displaystyle a^{2}+(r+{\rm {d}}r)^{2}(\alpha +{\rm {d}}\alpha )^{2}=a^{2}+r^{2}\alpha ^{2}}$ . Отсюда получается (пренебрежением величинами второго и большего порядков малости):

При параллельном переносе вдоль дуги меняются обе координаты ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle \alpha }$  (рис. 2). Очевидно, ${\displaystyle \alpha ={\frac {A}{r}}\sin \lambda }$ , ${\displaystyle a=A\cos \lambda }$ , и ${\displaystyle {\rm {d}}\lambda =-{\rm {d}}\varphi }$  поэтому:

Кроме этого, так как ${\displaystyle a=A\cos \lambda }$ , ${\displaystyle {\rm {d}}\lambda =-{\rm {d}}\varphi }$ , и ${\displaystyle A\sin \lambda =r\alpha }$ , то

Параллельный перенос в произвольном направлении

При произвольном малом смещении вектора (когда меняются и ${\displaystyle r}$ , и ${\displaystyle \varphi }$ ) изменения компонент надо складывать:

Полученные выражения имеют общую структуру: изменение компонент вектора пропорционально всем компонентам вектора и пропорционально величине сдвига вектора. Коэффициенты пропорциональности (без общего минуса) и называются символами Кристоффеля.

В более общих обозначениях ${\displaystyle x^{1}=r}$ , ${\displaystyle x^{2}=\varphi }$ , ${\displaystyle {A^{1}=a}}$  и ${\displaystyle A^{2}=\alpha }$  можно записать (имея ввиду сумму по повторяющимся индексам):

Здесь символы Кристоффеля ${\displaystyle {\Gamma _{22}^{1}=-r}}$ , ${\displaystyle \Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}=1/r}$ , а все остальные равны нулю.

В прямоугольной системе координат все символы Кристоффеля равны нулю, так как компоненты вектора не изменяются при параллельном переносе. Из этого можно сделать вывод, что символы Кристоффеля не образуют тензор: если тензор равен нулю в какой-либо системе координат, то он равен нулю во всех остальных системах координат.

Символы Кристоффеля второго рода ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$  можно определить как коэффициенты разложения ковариантной производной координатных векторов ${\displaystyle \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$  по базису:

${\displaystyle \nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}=\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}}$ 

Символы Кристоффеля первого рода ${\displaystyle \Gamma _{n,ij}^{}}$ 

${\displaystyle \Gamma _{n,ij}=g_{kn}\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{in}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{jn}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{n}}}\right)}$ 

Символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты для карты ${\displaystyle x^{i}}$  могут быть определены из отсутствия кручения, то есть:

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}}$ .

и того условия, что ковариантная производная метрического тензора ${\displaystyle g_{ik}\ }$  равна нулю:

${\displaystyle \nabla _{\ell }g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{\ell }}}-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }=0}$ .

Для сокращения записи символ набла ${\displaystyle \nabla }$  и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой «;» в случае ковариантной и запятая ", " в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как:

${\displaystyle \,g_{ik;\ell }=g_{ik,\ell }-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }=0}$ .

Явные выражения для символов Кристоффеля второго рода получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{m}}}\right)={1 \over 2}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m})}$ ,

где ${\displaystyle g^{ij}\ }$  — контравариантное представление метрики, которое есть матрица, обратная к ${\displaystyle g_{ij}\ }$ , находится путём решения системы линейных уравнений ${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}\ }$ .

Формальные, безындексные определения связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами ${\displaystyle X^{i}\ }$  и ${\displaystyle Y^{k}\ }$ . Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением

${\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}\nabla _{i}Y^{k}=X^{i}\left({\frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+\Gamma ^{k}{}_{im}Y^{m}\right).\ }$ 

Условие отсутствия кручения у связности, :${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]\ }$ , эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:

${\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}.}$ 

Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора.

При замене переменных ${\displaystyle (x^{1},...,x^{n})\ }$  на ${\displaystyle (y^{1},...,y^{n})\ }$ , базисные векторы преобразуются ковариантно,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}={\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\ }$ 

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

${\displaystyle {\overline {\Gamma ^{k}{}_{ij}}}={\frac {\partial x^{p}}{\partial y^{i}}}\,{\frac {\partial x^{q}}{\partial y^{j}}}\,\Gamma ^{r}{}_{pq}\,{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{r}}}+{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}\ }$ 

Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.

Примечание. Можно заметить, например, из определения, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.

Пользуясь выражением символа через метрический тензор, либо преобразованием координат, можно получить значения их в любой системе координат. В механике и физике чаще всего используются ортогональные криволинейные системы координат. В этом случае символы Кристоффеля с равными коэффициентами выражаются через коэффициенты Ламе (диагональные элементы метрического тензора) ${\displaystyle H_{\beta }}$ , а все остальные равны нулю.

Символы Кристоффеля первого рода выражаются так:

${\displaystyle \Gamma _{\beta \beta ,\gamma }=-{H_{\beta }}{H_{\gamma }}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}}$ , при ${\displaystyle \beta \neq \gamma }$ .

${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma ,\beta }={H_{\beta }}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}}$ .

Символы Кристоффеля второго рода:

${\displaystyle \Gamma _{\beta \beta }^{\gamma }=-{\frac {H_{\beta }}{H_{\gamma }^{2}}}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}}$ , при ${\displaystyle \beta \neq \gamma }$ .

${\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\beta }=\Gamma _{\gamma \beta }^{\beta }={\frac {1}{H_{\beta }}}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}}$ 

Ниже приведены значения для распространённых систем координат:

• В декартовой системе координат ${\displaystyle \left\{x,y,z\right\}}$ : ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}\equiv 0}$ , поэтому ковариантная производная совпадает с частной производной.
• В цилиндрической системе координат ${\displaystyle \left\{r,\phi ,z\right\}}$ : ${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-r}$ , ${\displaystyle ~\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{r}}}$ . Остальные равны нулю.
• В сферической системе координат ${\displaystyle \left\{r,\theta ,\phi \right\}}$ : ${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-r}$ , ${\displaystyle \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta }$ , ${\displaystyle ~\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}}}$ , ${\displaystyle \Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta }$ , ${\displaystyle \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\operatorname {ctg} \theta }$ . Остальные равны нулю.

• Геодезическая
• Деривационные формулы Вейнгартена
• Символ Леви-Чивиты
• Символ Кронекера

• Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. — М.: Высшая школа, 2001. — 575 с. — ISBN 5-06-004155-7.
• Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. — Издательство Московского университета, 1974. — 206 с.