Сигнатура (линейная алгебра)

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. Сигнатура.

В линейной алгебре сигнатура — числовая характеристика квадратичной формы или псевдоевклидова пространства, в котором скалярное произведение задано с помощью соответствующей квадратичной формы.

Содержание

1 Определение
2 Пример
3 См. также
4 Литература

Определение

Каждая квадратичная форма с действительными коэффициентами может быть приведена с помощью невырожденной линейной замены переменных к каноническому виду

x12+x22+⋯+xp2−xp+12−xp+22−⋯−xp+q2.{displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-x_{p+2}^{2}-cdots -x_{p+q}^{2}.}

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+cdots +x_{p}^{2}-x_{{p+1}}^{2}-x_{{p+2}}^{2}-cdots -x_{{p+q}}^{2}.

Разность p−q{displaystyle p-q}

$p-q$ между числом положительных и отрицательных членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Числа p и q сигнатуры не зависят от способов приведения формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Сигнатуру квадратичной формы также записывают в виде пары чисел (p,q){displaystyle (p,q)}

$(p,q)$ или в виде (+⋯+−⋯−){displaystyle (+cdots +-cdots -)} $(+cdots +-cdots -)$ с соответствующим числом плюсов и минусов.

Пример

Квадратичная форма от двух переменных x1x2{displaystyle x_{1}x_{2}}

$x_{1}x_{2}$ может быть приведена к каноническому виду x~12−x~22,{displaystyle {tilde {x}}_{1}^{2}-{tilde {x}}_{2}^{2},} ${tilde x}_{1}^{2}-{tilde x}_{2}^{2},$ например, с помощью линейной замены переменных:

x1=(x~1+x~2),{displaystyle x_{1}=({tilde {x}}_{1}+{tilde {x}}_{2}),}

${displaystyle x_{1}=({tilde {x}}_{1}+{tilde {x}}_{2}),}$ x2=(x~1−x~2).{displaystyle x_{2}=({tilde {x}}_{1}-{tilde {x}}_{2}).} ${displaystyle x_{2}=({tilde {x}}_{1}-{tilde {x}}_{2}).}$

Сигнатура этой квадратичной формы равна нулю или может быть записана в виде (1,1){displaystyle (1,1)}

$(1,1)$ или в виде (+−).{displaystyle (+-).} $(+-).$

См. также

Литература

Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, 1971.
Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984.
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: М.: Наука, Физматлит, 1999.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.