Серединный перпендикуляр

Серединный перпендикуляр (срединный перпендикуляр или медиатриса) — прямая, перпендикулярная к данному отрезку и проходящая через его середину.

Построение середины отрезка AB является одновременно построением серединного перпендикулярa

Свойства

Херов перпендикуляр к сторонам треугольника (или другого описываемого окружностью многоугольника) пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. У остроугольного треугольника эта точка лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.
Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
В равнобедренном треугольнике высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины угла с равными сторонами, совпадают и являются серединным перпендикуляром, проведенным к основанию треугольника, а два других серединных перпендикуляра равны между собой.
Отрезки серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, заключённые внутри него, можно найти по следующим формулам:^[1]

p_{a}={\tfrac {2aS}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},p_{b}={\tfrac {2bS}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},p_{c}={\tfrac {2cS}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},

где нижний индекс обозначает сторону, к которой проведён перпендикуляр,

S

— площадь треугольника, а также предполагается, что стороны связаны неравенствами

a\geqslant b\geqslant c.

Если стороны треугольника удовлетворяют неравенствам $a\geq b\geq c,$ , тогда справедливы неравенства^[1]:

p_{a}\geq p_{b}

и

p_{c}\geq p_{b}.

Иными словами у треугольника наименьший серединный перпендикуляр относится к среднему отрезку.

Примечания

↑ ¹ ² Mitchell, Douglas W. Perpendicular Bisectors of Triangle Sides // Forum Geometricorum. — 2013. — Vol. 13. — P. 53-59, Theorems 2, 4.

[Mitchell-1] ¹ ² Mitchell, Douglas W. Perpendicular Bisectors of Triangle Sides // Forum Geometricorum. — 2013. — Vol. 13. — P. 53-59, Theorems 2, 4.

[1]