Связность (дифференциальная геометрия)

Связность — структура на гладком расслоении, состоящая в выборе «горизонтального направления» в каждой точке пространства расслоения.

Точнее: Пусть дано гладкое расслоение $\pi :E\to B$ , связность есть подрасслоение $R$ касательного расслоения $TE$ над $E$ , такое что для каждой точки $x\in E$ проекция

d_{x}\pi (R_{x})=T_{\pi (x)}B

здесь $d_{x}\pi$ обозначает дифференциал $\pi$ в точке $x$ .

Связность позволяет дифференцировать сечения расслоения по направлению.

Связность позволяет определить параллельное сечение вдоль кривой в базе расслоения. В частности связность позволяет построить каноническую тривиализацию расслоения над кривой (не имеющей самопересечений), однако построить для расслоения над многообразием каноническую тривиализацию в некоторой окрестности возможно тогда и только тогда, когда там равен нулю тензор кривизны заданной связности.

Примеры

Связность Леви-Чивиты — аффинная связность, канонически определяемая метрическим тензором.

Типы связностей

Аффинная связность

Аффинная связность на сфере - связь аффинных касательнных пространств в двух точках сферы.

Аффинная связность — линейная связность на касательном расслоении многообразия.

Пусть M есть гладкое многообразие и C^∞(M,TM) обозначает пространство векторных полей на M. Тогда, аффинная связность на M это билинейное отображение

{\begin{matrix}C^{\infty }(M,TM)\times C^{\infty }(M,TM)&\rightarrow &C^{\infty }(M,TM)\\(X,Y)&\mapsto &\nabla _{X}Y,\end{matrix}}

такое, что для любой гладкой функции f ∈ C^∞(M,R) и любых вектроных полей X, Y на M:

$\nabla _{fX}Y=f\nabla _{X}Y$ , то есть, $\nabla$ линейно по первому аргументу;
$\nabla _{X}(fY)=\mathrm {d} f(X)Y+f\nabla _{X}Y$ , то есть $\nabla$ удовлетворяет правилу Лейбница по второй переменной.

Связанные определения

Кручением афинной связности называется вырожение
$U(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]$

здесь

[{*},{*}]

— скобки Ли

Связность Леви-Чивиты

Свя́зность Ле́ви-Чиви́ты или связность, ассоциированная с метрикой — аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии $M$ , относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.

То есть аффинная связность $\nabla$ на римановом многообразии $(M,\;g)$ называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:

(римановость) для любых векторных полей $X$ , $Y$ , $Z$ верно
$X(g(Y,\;Z))=g(\nabla _{X}Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla _{X}Z)$ ,
где $X(g(Y,\;Z))$ обозначает производную $g(Y,Z)$ в направлении $X$ .
(отсутствие кручения) для любых векторных полей $X$ и $Y$
$\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,\;Y]=0$ ,
где $[X,\;Y]$ скобки Ли векторных полей $X$ и $Y$ .

Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты.

Связанные определения

Аффинная связность, для которой выполняется только условие римановости, называется римановой связностью.

Свойства

Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.