Связность (дифференциальная геометрия)

Связность — структура на гладком расслоении, состоящая в выборе «горизонтального направления» в каждой точке пространства расслоения.

Точнее: Пусть дано гладкое расслоение , связность есть подрасслоение касательного расслоения над , такое что для каждой точки проекция

здесь обозначает дифференциал в точке .

Связность позволяет дифференцировать сечения расслоения по направлению.

Связность позволяет определить параллельное сечение вдоль кривой в базе расслоения. В частности связность позволяет построить каноническую тривиализацию расслоения над кривой (не имеющей самопересечений), однако построить для расслоения над многообразием каноническую тривиализацию в некоторой окрестности возможно тогда и только тогда, когда там равен нулю тензор кривизны заданной связности.

Примеры

Типы связностей

Аффинная связность

 
Аффинная связность на сфере - связь аффинных касательнных пространств в двух точках сферы.

Аффинная связность — линейная связность на касательном расслоении многообразия.

Пусть M есть гладкое многообразие и C(M,TM) обозначает пространство векторных полей на M. Тогда, аффинная связность на M это билинейное отображение

 

такое, что для любой гладкой функции fC(M,R) и любых вектроных полей X, Y на M:

  1.  , то есть,   линейно по первому аргументу;
  2.  , то есть   удовлетворяет правилу Лейбница по второй переменной.

Связанные определения

  • Кручением афинной связности называется вырожение
     
здесь   — скобки Ли

Связность Леви-Чивиты

Свя́зность Ле́ви-Чиви́ты или связность, ассоциированная с метрикой — аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии  , относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.

То есть аффинная связность   на римановом многообразии   называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:

  1. (римановость) для любых векторных полей  ,  ,   верно
          ,
    где   обозначает производную   в направлении  .
  2. (отсутствие кручения) для любых векторных полей   и  
          ,
    где   скобки Ли векторных полей   и  .

Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты.

Связанные определения

  • Аффинная связность, для которой выполняется только условие римановости, называется римановой связностью.

Свойства

  • Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.