Связность Леви-Чивиты

Связность Леви-Чивита или связность, ассоциированная с метрикой — аффинная связность на римановом многообразии (или псевдоримановом многообразии) ${\displaystyle M}$, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен и имеет нулевое кручение.

То есть аффинная связность ${\displaystyle \nabla }$ на римановом многообразии ${\displaystyle (M,\;g)}$ называется связностью Леви-Чивита если для неё выполнены следующие два свойства:

1. (римановость) для любых векторных полей ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ верно
        ${\displaystyle X(g(Y,\;Z))=g(\nabla _{X}Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla _{X}Z)}$,
   где ${\displaystyle X(g(Y,\;Z))}$ обозначает производную ${\displaystyle g(Y,Z)}$ в направлении ${\displaystyle X}$.
2. (отсутствие кручения) для любых векторных полей ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$
        ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,\;Y]}$,
   где ${\displaystyle [X,\;Y]}$ скобки Ли векторных полей ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$.

Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивита.