Связность Леви-Чивита или связность, ассоциированная с метрикой — аффинная связность на римановом многообразии (или псевдоримановом многообразии) M{displaystyle M}, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен и имеет нулевое кручение.
, относительно которой То есть аффинная связность ∇{displaystyle nabla } на римановом многообразии (M,g){displaystyle (M,;g)} называется связностью Леви-Чивита если для неё выполнены следующие два свойства:
на римановом многообразии (M,g){displaystyle (M,;g)}
называется связностью Леви-Чивита если для неё выполнены следующие два свойства:- (римановость) для любых векторных полей X{displaystyle X}, Y{displaystyle Y}, Z{displaystyle Z} верно
X(g(Y,Z))=g(∇XY,Z)+g(Y,∇XZ){displaystyle X(g(Y,;Z))=g(nabla _{X}Y,;Z)+g(Y,;nabla _{X}Z)},
где X(g(Y,Z)){displaystyle X(g(Y,;Z))} обозначает производную g(Y,Z){displaystyle g(Y,Z)} в направлении X{displaystyle X}. - (отсутствие кручения) для любых векторных полей X{displaystyle X} и Y{displaystyle Y}
∇XY−∇YX=[X,Y]{displaystyle nabla _{X}Y-nabla _{Y}X=[X,;Y]},
где [X,Y]{displaystyle [X,;Y]} скобки Ли векторных полей X{displaystyle X} и Y{displaystyle Y}.
, Y{displaystyle Y}
, Z{displaystyle Z}
верно
, 
обозначает производную g(Y,Z){displaystyle g(Y,Z)}
в направлении X{displaystyle X}![{displaystyle nabla _{X}Y-nabla _{Y}X=[X,;Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62311f15b9401beffa9a2c438cd883308c63a3bd)
,![[X,;Y]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54814f2a1eb1d3ab73737502766ed259a5019334)
Названа в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивита.
Связанные определения
- Афинная связность для которой выполняется только условие римановости называется римановой связностью.
Свойства
- Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает ед
инственной связностью Леви-Чивита; это утверждение иногда называется основной теоремой римановой геометрии.
