Связное пространство

Топологическое пространство называется несвязным, если его можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых подмножеств. В противном случае пространство называется связным. Пустое пространство удовлетворяет определению связного пространства, однако не всеми авторами считается таковым.

Подмножество топологического пространства называется связным, если оно вместе со своей индуцированной топологией образует связное пространство.

Эквивалентные определения

Пусть X — топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. X связно.
2. X нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых подмножества.
3. Единственные подмножества X, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, — пустое множество ${\displaystyle \varnothing }$  и всё пространство X.
4. Единственные подмножества с пустой границей — пустое множество ${\displaystyle \varnothing }$  и всё пространство X.
5. X не может быть представлен в виде объединения двух непустых множеств, каждое из которых не пересекается с замыканием другого.
6. Единственными непрерывными функциями из X в двухточечное множество (с дискретной топологией) являются константы.

• Каждое связное подмножество пространства ${\displaystyle X}$  содержится в некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами связности (связными компонентами, компонентами) пространства ${\displaystyle X}$ .
  • Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется вполне несвязным. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  рациональных чисел на числовой прямой и канторово множество.
• Если существует база топологии пространства ${\displaystyle X}$ , состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства ${\displaystyle X}$  и само пространство ${\displaystyle X}$  (в этой топологии) называются локально связными.
• Связное компактное хаусдорфово пространство называется континуумом.

• В любом топологическом пространстве пустое множество и одноточечные множества — связные. Впрочем, некоторые авторы не считают пустое множество связным.
• В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого подмножества и всего пространства) имеет непустую границу.
  • Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами, и называются открыто-замкнутыми подмножествами. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространством.
• Образ связного множества при непрерывном отображении связен.
• Связность пространства — топологическое свойство, то есть свойство, инвариантное относительно гомеоморфизмов.
• Замыкание связного подмножества ${\displaystyle A}$  связно.
  • Более того, всякое «промежуточное» подмножество ${\displaystyle B}$  (${\displaystyle A\subset B\subset {\bar {A}}}$ ) тоже связно. Другими словами, если связное подмножество ${\displaystyle A}$  плотно в ${\displaystyle B}$ , то множество ${\displaystyle B}$  тоже связно.
• Пусть ${\displaystyle \{A_{\alpha }\}}$  — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством ${\displaystyle A}$ . Тогда множество ${\displaystyle A\cup \bigcup _{\alpha }A_{\alpha }}$  тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)
• Произведение связных пространств связно. Если хоть один из множителей несвязен, произведение будет несвязным.
• Каждая компонента пространства ${\displaystyle X}$  является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства ${\displaystyle X}$  не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества ${\displaystyle A}$  пространства ${\displaystyle X}$  — это максимальные связные подмножества множества ${\displaystyle A}$ .
• Непрерывное отображение из связного пространства во вполне несвязное сводится к отображению в одну точку.
• Локально связные пространства не обязаны быть связными, а связные — не обязаны быть локально связными.
• В локально связном пространстве компоненты связности открыты.
• Любое линейно связное пространство связно.
  • Обратное неверно; например замыкание графика функции ${\displaystyle \sin {\tfrac {1}{x}}}$  связно, но линейно не связно (это множество содержит отрезок ${\displaystyle [-1,1]}$  на оси ординат).

• Псевдодуга — пример вполне линейно несвязного континуума.
• Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, что удаление из него одной точки делает его вполне несвязным.
• Множество Мандельброта — пример связного множества, относительно которого неизвестно, является ли оно линейно связным.

• Линейно связное пространство

• Вполне несвязное пространство
• Односвязное пространство
• Экстремально несвязное пространство