Георг Фридрих Бернхард Риман (нем. Georg Friedrich Bernhard Riemann; 17 сентября 1826 года, Брезеленц, Ганновер — 20 июля 1866 года, Селаска, Италия, близ Лаго-Маджоре) — немецкий математик, механик и физик. За свою короткую жизнь (всего 10 лет трудов) он преобразовал сразу несколько разделов математики. «Мы склонны видеть в Римане, может быть, величайшего математика середины XIX века, непосредственного преемника Гаусса», — отмечал академик П. С. Александров[5].
Бернхард Риман | |
---|---|
нем. Bernhard Riemann | |
![]() | |
Имя при рождении | нем. Georg Friedrich Bernhard Riemann |
Дата рождения | 17 сентября 1826[1][2][…] |
Место рождения | Брезеленц, Ганновер |
Дата смерти | 20 июля 1866[1][3][…] (39 лет) |
Место смерти | Селаска, Пьемонт |
Страна | |
Научная сфера | математика, механика, физика |
Место работы | Гёттингенский университет |
Альма-матер | Гёттингенский университет |
Учёная степень | доктор философии[4] (16 декабря 1851) и хабилитация[4] (10 июня 1854) |
Научный руководитель | К. Ф. Гаусс |
Ученики | Шеринг, Эрнст |
Известен как | основатель римановой геометрии |
Награды и премии | |
Автограф |
![]() |
![]() |
Родился в семье бедного пастора, вторым из шести его детей, в деревне Брезеленц, недалеко от Данненберга. Смог начать посещать школу лишь в 14 лет (1840). Мать Римана, Шарлотта Эбелль, умерла от туберкулёза, когда он ещё учился в школе; от этой же болезни умерли две его сестры (и, впоследствии, умрёт он сам).
Наклонности к математике проявлялись у молодого Римана ещё в детстве, но, уступая желанию отца, в 1846 году он поступил в Гёттингенский университет для изучения филологии и богословия. Однако здесь он слушает лекции К. Ф. Гаусса и принимает окончательное решение стать математиком[6].
В 1847 г. Риман переходит в Берлинский университет, где слушает лекции П. Г. Дирихле, К. Г. Я. Якоби и Я. Штейнера. В 1849 г. он возвращается в Гёттинген[6], где знакомится с Вильгельмом Вебером, который становится его учителем и близким другом; годом позже приобретает ещё одного друга — Рихарда Дедекинда.
В 1851 году Риман защищает диссертацию «Основания теории функций комплексной переменной», где впервые было введено понятие, позже получившее известность как риманова поверхность. В 1854—1866 гг. он работает в Гёттингенском университете[6].
Чтобы претендовать на должность экстраординарного профессора, Риман по уставу должен был выступить перед профессорским составом. Осенью 1853 года Риман читает в присутствии Гаусса исторический доклад «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», с которого ведёт своё начало риманова геометрия. Доклад, впрочем, не помог — Римана не утвердили. Однако текст выступления был опубликован (хотя и с большим опозданием — в 1868 г.), и это стало эпохальным событием для геометрии. Всё же Риман был принят приват-доцентом Гёттингенского университета, где читает курс абелевых функций.
В 1857 году Риман опубликовал классические труды по теории абелевых функций и аналитической теории дифференциальных уравнений и был переведён на должность экстраординарного профессора Гёттингенского университета.
1859: после смерти Дирихле Риман — ординарный профессор Гёттингенского университета. Читает лекции по математической физике (изданы посмертно его учениками). Вместе с Дедекиндом совершает поездку в Берлинский университет, где общается с Вейерштрассом, Куммером, Кронекером. После чтения там знаменитой работы «О числе простых чисел, не превышающих заданной величины» избран членом Берлинской академии наук. Эта работа исследовала распределение простых чисел и свойства ζ-функции (функции Римана).
1862: Женился на Эльзе Кох, подруге покойной сестры. У них родилась дочь Ида. К несчастью, вскоре после женитьбы Риман простудился и серьёзно заболел.
1866: Риман скончался в Италии от туберкулёза в возрасте неполных 40 лет. Дедекинд, со слов жены, так описал его смерть [7]:
За день до своей смерти он лежал под смоковницей, его переполняла радость при виде великолепного пейзажа, он работал над своей последней книгой, к сожалению, оставшейся незаконченной. Кончина пришла тихо, без напряжения или агонии смерти; казалось, будто бы он с интересом следил, как душа расставалась с его телом; его жене пришлось дать ему хлеб и вино, он попросил её передать его любовь домашним, сказав: «Поцелуй наше дитя». Она читала вместе с ним молитву Господню, он не мог больше говорить; со словами «И остави нам долги наша» он благочестиво поднял глаза, она почувствовала, как его рука холодеет в её руке, и ещё через несколько вздохов, его чистое, благородное сердце перестало биться.
Посмертный сборник трудов Римана, подготовленный Дедекиндом, содержал всего один том. Могила Римана в Италии была заброшена и позже уничтожена при перепланировке кладбища, но надгробная плита уцелела и в наши дни установлена у стены кладбища.
Исследования Римана относятся к теории функций комплексного переменного, геометрии, математической и теоретической физике, теории дифференциальных уравнений[6].
В знаменитом докладе «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (нем. Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen) Риман определил общее понятие n-мерного многообразия и его метрику в виде произвольной положительно определённой квадратичной формы, что сейчас называется римановой метрикой (не путать с топологической метрикой). Далее Риман обобщил гауссову теорию поверхностей на многомерный случай; при этом был впервые введён тензор кривизны и другие понятия римановой геометрии. Существование метрики, по Риману, объясняется либо дискретностью пространства, либо некими физическими силами связи — здесь он предвосхитил общую теорию относительности. Альберт Эйнштейн писал: «Риман первый распространил цепь рассуждений Гаусса на континуумы произвольного числа измерений, он пророчески предвидел физическое значение этого обобщения евклидовой геометрии»[8].
Риман также высказал предположение, что геометрия в микромире может отличаться от трёхмерной евклидовой
[9]:
Эмпирические понятия, на которых основывается установление пространственных метрических отношений,— понятия твёрдого тела и светового луча, по-видимому, теряют всякую определённость в бесконечно малом. Поэтому вполне мыслимо, что метрические отношения пространства в бесконечно малом не отвечают геометрическим допущениям; мы действительно должны были бы принять это положение, если бы с его помощью более просто были объяснены наблюдаемые явления.
В другом месте этой же работы Риман указал, что допущения евклидовой геометрии должны быть проверены также и «в сторону неизмеримо большого», то есть в космологических масштабах[10]. Глубокие мысли, содержащиеся в выступлении Римана, ещё долго стимулировали развитие науки.
Риман является создателем геометрического направления теории аналитических функций. Он ввёл носящие его имя поверхности (римановы поверхности) и разработал теорию конформных отображений[6].
При этом Риман развивает общую теорию многозначных комплексных функций, построив для них «римановы поверхности». Он использует не только аналитические, но и топологические методы; позднее его труды продолжил Анри Пуанкаре, завершив создание топологии.
Труд Римана «Теория абелевых функций» был важным шагом в бурном развитии этого раздела анализа в XIX веке. Риман ввёл понятие рода абелевой функции, классифицировал их по этому параметру и вывел топологическое соотношение между родом, числом листов и числом точек ветвления функции.
Вслед за Коши, Риман рассмотрел формализацию понятия интеграла и ввёл своё определение — интеграл Римана. Развил общую теорию тригонометрических рядов, не сводящихся к рядам Фурье.
В аналитической теории чисел большой резонанс имело исследование Риманом распределения простых чисел. Он дал интегральное представление дзета-функции Римана, исследовал её полюса и нули (см. Гипотеза Римана), вывел приближённую формулу для оценки количества простых чисел через интегральный логарифм.
Исследования Римана в области механики относятся к изучению динамики течений сжимаемой жидкости (газа) — в частности, сверхзвуковых. Наряду с К. Доплером, Э. Махом, У. Дж. Ранкином и П.-А. Гюгонио Риман стал одним из основоположников классической газовой динамики[11].
Риманом был предложен метод аналитического решения нелинейного уравнения, описывающего одномерное движение сжимаемой жидкости; позже геометрическая разработка данного метода привела к созданию метода характеристик (сам Риман термина «характеристика» и соответствующих геометрических образов не использовал)[12]. Фактически им был создан общий метод для расчёта течений газов в предположении, что данные течения зависят только от двух независимых переменных[13].
В 1860 г. Риман нашёл точное общее решение нелинейных уравнений одномерного течения сжимаемого газа (при условии его баротропности); оно представляет собой бегущую плоскую волну конечной амплитуды (простую волну), профиль которой — в отличие от случая волн малой амплитуды — меняет со временем свою форму[14].
Исследуя задачу о распространении малых возмущений при одномерном движении баротропной жидкости, Риман предложил выполнить в уравнениях движения замену зависимых переменных: перейти от переменных и (давление и скорость) к новым переменным
(получивших название инвариантов Римана), в которых уравнения движения принимают особенно простой вид (здесь — плотность жидкости, — скорость звука)[15].
Именно Риману механика обязана понятием об ударных волнах. Явление образования ударных волн в потоке сжимаемого газа впервые было обнаружено не экспериментально, а теоретически — в ходе проводившегося Риманом изучения решений уравнений движения газа (среди которых, как выяснилось, имеются решения с подвижными поверхностями сильного разрыва)[16].
Риман сделал и первую попытку получить условия на поверхности разрыва (т. е. соотношения, связывающие скачки физических величин при переходе через данную поверхность). Однако в этом он не преуспел (поскольку фактически исходил из законов сохранения массы, импульса и энтропии, а следовало исходить из законов сохранения массы, импульса и энергии)[17]; правильные соотношения в случае одномерного движения газа были получены Ранкином (1870 г.) и Гюгонио (1887 г.)[11].
В 1964 г. Международный астрономический союз присвоил имя Римана кратеру на видимой стороне Луны. В честь Бернхарда Римана 19 октября 1994 года названа малая планета (4167) Riemann, открытая 2 октября 1978 года Л. В. Журавлёвой в Крымской астрофизической обсерватории[18].