Риманово многообразие

Риманово многообразие или риманово пространство (M,g) это вещественное дифференцируемое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — римановой метрикой, меняющейся от точки к точке гладким образом. Метрика g есть положительно определённый симметрический тензор — метрический тензор. Другими словами, риманово многообразие это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным Евклидовым пространством.

Это позволяет определить различные геометрические понятия на Римановых многообразиях, такие как углы, длины кривых, площади (или объёмы), кривизну, градиенты функций и дивергенции векторных полей.

Не стоит путать римановы многообразия с римановыми поверхностями — многообразиями, которые локально выглядят как склейки комплексных плоскостей.

Термин назван в честь немецкого математика Бернхарда Римана.

Обзор

Касательное расслоение гладкого многообразия M ставит в соответствие каждой точке M векторное пространство называемое касательным, и на этом касательном пространстве можно ввести скалярное произведение. Если такой набор введённых скалярных произведений на касательном расслоении многообразия изменяется гладко от точки к точке, то с помощью таких произведений можно ввести метричность на всём многообразии. К примеру, гладкая кривая α(t): [0, 1] → M имет касательный вектор α′(t0) в касательном пространстве TM(t0) в любой точке t0 ∈ (0, 1), и каждый такой вектор имеет длину ‖α′(t0)‖, где ‖·‖ обозначает норму индуцированную скалярным произведением на TM(t0). Интерграл по этим длинам даёт длину всей кривой α:

 

Гладкость α(t) для t в [0, 1] гарантирует, что интеграл L(α) существует и длинна кривой определенна.

Во многих случаях, для того чтобы перейти от линейно-алгебраической концепции к дифференциально геометрической, гладкость очень важна.

Каждое гладкое подмногообразие Rn имеет индуцированную метрику g: скалярное произведение на каждом касательном пространстве это просто скалярное произведение на Rn. В действительности имеет место теорема Нэша о регулярных вложениях, все римановы многообразия могут быть реализованны таким способом.

Измерение длин и углов при помощи метрики

На Римановом многообразии, длина сегмента кривой, заданной параметрически (как вектор-функция   параметра  , меняющегося от   до  ), равна:

 

Угол   между двумя векторами,   и   (в искривленном пространстве векторы существуют в касательном пространстве в точке многообразия), определяется выражением:

 

Для псевдоримановой метрики, длина по формуле, которая приведена выше, не всегда определена, потому что выражение под корнем может быть отрицательным. В общем можно определить длину кривой только если знак выражения под корнем либо положительный, либо отрицательный по всей длине кривой. Для псевдоримановой метрики:

 

Заметим, что хотя эти формулы используют координатное представление, результат не зависит от выбора системы координат; он зависит только от метрики и от кривой, вдоль которой происходит интегрирование.