Риманово многообразие

Риманово многообразие или риманово пространство (M,g) это вещественное дифференцируемое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — римановой метрикой, меняющейся от точки к точке гладким образом. Метрика g есть положительно определённый симметрический тензор — метрический тензор. Другими словами, риманово многообразие это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным Евклидовым пространством.

Это позволяет определить различные геометрические понятия на Римановых многообразиях, такие как углы, длины кривых, площади (или объёмы), кривизну, градиенты функций и дивергенции векторных полей.

Не стоит путать римановы многообразия с римановыми поверхностями — многообразиями, которые локально выглядят как склейки комплексных плоскостей.

Термин назван в честь немецкого математика Бернхарда Римана.

Обзор

Касательное расслоение гладкого многообразия M ставит в соответствие каждой точке M векторное пространство называемое касательным, и на этом касательном пространстве можно ввести скалярное произведение. Если такой набор введённых скалярных произведений на касательном расслоении многообразия изменяется гладко от точки к точке, то с помощью таких произведений можно ввести метричность на всём многообразии. К примеру, гладкая кривая α(t): [0, 1] → M имет касательный вектор α′(t0) в касательном пространстве TM(t0) в любой точке t0 ∈ (0, 1), и каждый такой вектор имеет длину ‖α′(t0)‖, где ‖·‖ обозначает норму индуцированную скалярным произведением на TM(t0). Интерграл по этим длинам даёт длину всей кривой α:

L(α)=∫01‖α′(t)‖dt.{displaystyle L(alpha )=int _{0}^{1}{|alpha ‘(t)|,mathrm {d} t}.} 

Гладкость α(t) для t в [0, 1] гарантирует, что интеграл L(α) существует и длинна кривой определенна.

Во многих случаях, для того чтобы перейти от линейно-алгебраической концепции к дифференциально геометрической, гладкость очень важна.

Каждое гладкое подмногообразие Rn имеет индуцированную метрику g: скалярное произведение на каждом касательном пространстве это просто скалярное произведение на Rn. В действительности имеет место теорема Нэша о регулярных вложениях, все римановы многообразия могут быть реализованны таким способом.

Измер
ение длин и углов при помощи метрики

На Римановом многообразии, длина сегмента кривой, заданной параметрически (как вектор-функция x(t){displaystyle x(t)}

  параметра t{displaystyle t} , меняющегося от a{displaystyle a}  до b{displaystyle b} ), равна:

L=∫abgijdxidtdxjdtdt=∫x(a)x(b)gijdxidxj.{displaystyle L=int limits _{a}^{b}{sqrt {g_{ij}{dx^{i} over dt}{dx^{j} over dt}}},dt=int limits _{x(a)}^{x(b)}{sqrt {g_{ij},dx^{i},dx^{j}}}.} 

Угол θ {displaystyle theta }

  между двумя векторами, U=ui∂∂xi {displaystyle U=u^{i}{partial over partial x^{i}} }  и V=vj∂∂xj {displaystyle V=v^{j}{partial over partial x^{j}} }  (в искривленном пространстве векторы существуют в касательном пространстве в точке многообразия), определяется выражением:

cos⁡θ=gijuivj|gijuiuj||gijvivj|.{displaystyle cos theta ={frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{sqrt {left|g_{ij}u^{i}u^{j}right|left|g_{ij}v^{i}v^{j}right|}}}.} 

Для псевдоримановой метрики, длина по формуле, которая приведена выше, не всегда определена, потому что выражение под корнем может быть отрицательным. В общем можно определить длину кривой только если знак выражения под корнем либо положительный, либо отрицательный по всей длине кривой. Для псевдоримановой метрики:

L=∫ab|gijdxidtdxjdt|dt.{displaystyle L=int limits _{a}^{b}{sqrt {left|g_{ij}{dx^{i} over dt}{dx^{j} over dt}right|}},dt.} 

Заметим, что хотя эти формулы используют координатное представление, результат не зависит от выбора системы координат; он зависит только от метрики и от кривой, вдоль которой происходит интегрирование.