Расслоение Хопфа

В топологии, расслоение Хопфа — расслоение трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы как единичной сферы в , а двумерной сферы как комплексной проективной прямой . Тогда отображение

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы :

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

Обобщения

  • Совершенно аналогично, нечётномерная сфера   расслаивается со слоем-окружностью над  
  • Также (помимо вышеуказанной «комплексной»), существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:
    (вещественная),
    (комплексная — собственно расслоение Хопфа),
    (кватернионная),
    (октавная).

На самом деле, это все расслоения, для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами.

Ссылки

См. также

  • Сфера Римана — комплексная проективная прямая, базовое многообразие расслоения Хопфа
  • Унитарная_группа U(1) — структурная группа расслоения Хопфа
  • Трехмерная сфера — в ней происходит расслоение Хопфа
  • Сфера Пуанкаре и сфера Блоха — расслоение Хопфа в физике описывает поляризацию поперечной волны, состояние двухуровневой квантовой системы, релятивистское искажение небесной сферы и прочее[1][2]
  1. Р.Пенроуз, В.Риндлер. Спиноры и пространство-время, спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени. — Москва «Мир», 1988. — P. 78.
  2. Д.Н. Клышко (1993). “Геометрическая фаза Берри в колебательных процессах”. УФН. 163 (11): 1.