Расслоение Хопфа

В топологии, расслоение Хопфа — расслоение трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2}.}$

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы ${\displaystyle S^{3}}$ как единичной сферы в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, а двумерной сферы ${\displaystyle S^{2}}$ как комплексной проективной прямой ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$. Тогда отображение

${\displaystyle p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2})}$

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы ${\displaystyle S^{1}}$:

${\displaystyle \theta :(z_{1},z_{2})\mapsto (\theta z_{1},\theta z_{2}),}$

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

${\displaystyle S^{1}=\{\theta \mid \theta \in \mathbb {C} ,\,|\theta |=1\}.}$