Расслоение Хопфа

Разделы:
- Ссылки
- См. также

В топологии, расслоение Хопфа — расслоение трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

S1↪S3→ pS2.{displaystyle S^{1}hookrightarrow S^{3}{xrightarrow { p,}}S^{2}.} ${displaystyle S^{1}hookrightarrow S^{3}{xrightarrow { p,}}S^{2}.}$

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы S3{displaystyle S^{3}} $S^{3}$ как единичной сферы в C2{displaystyle mathbb {C} ^{2}} ${displaystyle mathbb {C} ^{2}}$ , а двумерной сферы S2{displaystyle S^{2}} $S^{2}$ как комплексной проективной прямой CP1{displaystyle mathbb {C} P^{1}} ${displaystyle mathbb {C} P^{1}}$ . Тогда отображение

p:(z1,z2)↦(z1:z2){displaystyle p:(z_{1},z_{2})mapsto (z_{1}:z_{2})} ${displaystyle p:(z_{1},z_{2})mapsto (z_{1}:z_{2})}$

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы S1{displaystyle S^{1}} $S^{1}$ :

θ:(z1,z2)↦(θz1,θz2),{displaystyle theta :(z_{1},z_{2})mapsto (theta z_{1},theta z_{2}),} ${displaystyle theta :(z_{1},z_{2})mapsto (theta z_{1},theta z_{2}),}$

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

S1={θ∣θ∈C,|θ|=1}.{displaystyle S^{1}={theta mid theta in mathbb {C} ,,|theta |=1}.} ${displaystyle S^{1}={theta mid theta in mathbb {C} ,,|theta |=1}.}$

Содержание

Обобщения

Совершенно аналогично, нечётномерная сфера S2n+1{displaystyle S^{2n+1}} ${displaystyle S^{2n+1}}$ расслаивается со слоем-окружностью над CPn.{displaystyle mathbb {C} P^{n}.} ${displaystyle mathbb {C} P^{n}.}$
Также (помимо вышеуказанной «комплексной»), существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:

S0↪S1→S1{displaystyle S^{0}hookrightarrow S^{1}rightarrow S^{1},}

{displaystyle S^{0}hookrightarrow S^{1}rightarrow S^{1},}

(вещественная),

S1↪S3→S2{displaystyle S^{1}hookrightarrow S^{3}rightarrow S^{2},}

{displaystyle S^{1}hookrightarrow S^{3}rightarrow S^{2},}

(комплексная — собственно расслоение Хопфа),

S3↪S7→S4{displaystyle S^{3}hookrightarrow S^{7}rightarrow S^{4},}

{displaystyle S^{3}hookrightarrow S^{7}rightarrow S^{4},}

(кватернионная),

S7↪S15→S8{displaystyle S^{7}hookrightarrow S^{15}rightarrow S^{8},}

{displaystyle S^{7}hookrightarrow S^{15}rightarrow S^{8},}

(октавная).

На самом деле, это все расслоения, для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами.

Ссылки

См. также

Сфера Римана — комплексная проективная прямая, базовое многообразие расслоения Хопфа
Унитарная_группа U(1) — структурная группа расслоения Хопфа
Трехмерная сфера — в ней происходит расслоение Хопфа
Сфера Пуанкаре и сфера Блоха — расслоение Хопфа в физике описывает поляризацию поперечной волны, состояние двухуровневой квантовой системы, релятивистское искажение небесной сферы и прочее[1][2]

↑ Р.Пенроуз, В.Риндлер. Спиноры и пространство-время, спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени. — Москва «Мир», 1988. — P. 78.
↑ Д.Н. Клышко (1993). “Геометрическая фаза Берри в колебательных процессах”. УФН. 163 (11): 1.

Это статья-заготовка по геометрии. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую.