Распределение (дифференциальная геометрия)

Пусть ${\displaystyle M}$  — гладкое ${\displaystyle n}$ -мермое многообразие и ${\displaystyle k\leq n}$ . Предположим в каждой точке ${\displaystyle x\in M}$  выбрано ${\displaystyle k}$ -мерное подпространство ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}(M)}$  касательного пространства такое, что у любой точки ${\displaystyle x\in M}$  существует окрестность ${\displaystyle U_{x}\subset M}$  и ${\displaystyle k}$  линейно независимых гладких векторных полей ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ , причем для любой точки ${\displaystyle y\in U_{x}}$ , векторы ${\displaystyle X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)}$  составляют базис подпространства ${\displaystyle \Delta _{y}\subset T_{y}(M)}$ .

В этом случае, совокупность ${\displaystyle \Delta }$  всех подпространств ${\displaystyle \Delta _{x}}$ , ${\displaystyle x\in M}$ , называется ${\displaystyle k}$ -мерным распределением на многообразии ${\displaystyle M}$ .

При этом векторные поля ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{k}\}}$  называется локальным базисом распределения ${\displaystyle \Delta .}$ 

Распределение ${\displaystyle \Delta }$  на ${\displaystyle M}$  называется инволютивным, если в окрестности каждой точки ${\displaystyle x\in M}$  существует локальный базис распределения ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{k}\}}$  такой, что все скобки Ли векторных полей ${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$  принадлежат линейной оболочке ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{k}\}}$ , то есть ${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$  являются линейными комбинациями векторов ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{k}\}.}$  Условие инволютивности распределения ${\displaystyle \Delta }$  записывается как ${\displaystyle [\Delta ,\Delta ]\subset \Delta }$ .

Инволютивные распределения являются касательными пространствами к слоениям. Инволютивные распределения важны тем, что они удовлетворяют условиям теоремы Фробениуса, и таким образом, приводят к интегрируемым системам.

На открытом множестве ${\displaystyle U\subset M}$  ${\displaystyle k}$ -мерное распределение ${\displaystyle \Delta }$  может быть задано системой гладких 1-форм ${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{n-k}}$ , определенных в ${\displaystyle U}$  и линейно независимых в каждой точке: оно определяется уравнениями ${\displaystyle \omega _{i}(\xi )=0}$ . Если ${\displaystyle \{\omega _{1}\dots ,\omega _{n-k}\}}$  и ${\displaystyle \{\omega _{1}',\dots ,\omega _{n-k}'\}}$  — системы 1-форм, определяющие распределение ${\displaystyle \Delta }$  в ${\displaystyle U}$  и в ${\displaystyle U'}$ , то в пересечении ${\displaystyle U\cap U'}$  форма ${\displaystyle \omega _{i}=\sum \phi _{ij}\omega _{j}}$ , где ${\displaystyle \phi _{ij}}$  — такие гладкие функции, что ${\displaystyle \det(\phi _{ij})\neq 0}$  в ${\displaystyle U\cap U'}$ .

Если ${\displaystyle U=M}$ , говорят, что задана глобальная определяющая система форм.

Распределение называется интегрируемым, если через каждую точку ${\displaystyle x\in M}$  проходит ${\displaystyle k}$ -мерная интегральная поверхность, которая касается распределения в каждой своей точке.

Одномерное распределение задается не обращающимся в ноль векторным полем. Такое распределение всегда интегрируемо в силу локальной теоремы существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

В ${\displaystyle k}$ -мерном случае, ${\displaystyle k>1}$ , существуют неинтегрируемые распределения. Теорема Фробениуса дает необходимое и достаточное условие интегрируемости распределения.

Теорема Фробениуса в терминах векторных полей

Теорема: ${\displaystyle k}$ -мерное распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда множество векторов, касательных к распределению, замкнуто относительно скобки Ли.

Таким образом, инволютивные распределения являются интегрируемыми.

Теорема Фробениуса в терминах 1-форм

Теорема: ${\displaystyle k}$ -мерное распределение, заданное системой гладких 1-форм ${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{n-k}}$ , интегрируемо тогда и только тогда, когда всякий дифференциал

${\displaystyle d\omega _{i}=\sum _{j}\eta _{j}^{i}\wedge \omega _{j}}$ ,

где ${\displaystyle \eta _{j}^{i}}$  — гладкие 1-формы. Если определяющие формы ${\displaystyle \omega _{i}}$  независимы, это условие эквивалентно системе

${\displaystyle \omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{n-k}\wedge d\omega _{i}=0}$ .

Интегрируемое распределение ${\displaystyle \Delta }$  определяет слоение на многообразии ${\displaystyle M}$ : его слоями являются интегральные поверхности распределения. Заметим, что ${\displaystyle 1}$ -мерное распределение всегда интегрируемо, следовательно, порождает ${\displaystyle 1}$ -мерное слоение.

• Слоение

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.. — М.: Наука, 1989.