Раскрытие неопределённостей

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

${\displaystyle \infty -\infty }$

${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$

${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

${\displaystyle ~0^{0}}$

${\displaystyle 1^{\infty }}$

${\displaystyle \infty ^{0}}$

${\displaystyle 0\cdot \infty }$

(Здесь ${\displaystyle ~0}$ - бесконечно малая величина, а ${\displaystyle \infty }$ - бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.

Для раскрытия неопределённостей видов ${\displaystyle ~0^{0}}$, ${\displaystyle 1^{\infty }}$, ${\displaystyle \infty ^{0}}$ пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

${\displaystyle ~0^{0}=e^{0\cdot ln{0}}=e^{0\cdot \infty }}$

${\displaystyle ~1^{\infty }=e^{\infty \cdot ln{1}}=e^{\infty \cdot 0}}$

${\displaystyle ~\infty ^{0}=e^{0\cdot ln{\infty }}=e^{0\cdot \infty }}$

Для раскрытия неопределённостей типа ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$ используется следующий алгоритм:

1. Выявление старшей степени переменной;
2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ существует следующий алгоритм:

1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа ${\displaystyle \infty -\infty }$ иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть ${\displaystyle f(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty }$ и ${\displaystyle g(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to a}[f(x)-g(x)]=[\infty -\infty ]=\lim _{x\to a}\left({\frac {1}{\frac {1}{f(x)}}}-{\frac {1}{\frac {1}{g(x)}}}\right)=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{f(x)}}}{{\frac {1}{g(x)}}\cdot {\frac {1}{f(x)}}}}=\left[{\frac {0}{0}}\right]}$