Размерность Лебега

Для метрических пространств

Для компактного метрического пространства ${\displaystyle X}$  размерность Лебега определяется как наименьшее целое число ${\displaystyle n}$ , обладающее тем свойством, что при любом ${\displaystyle \varepsilon >0}$  существует конечное открытое ${\displaystyle \varepsilon }$ -покрытие ${\displaystyle X}$ , имеющее кратность ${\displaystyle \leq n+1}$ ;

При этом

• ${\displaystyle \varepsilon }$ -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр ${\displaystyle <\varepsilon }$ , а
• кратностью конечного покрытия пространства ${\displaystyle X}$  называется наибольшее такое целое число ${\displaystyle k}$ , что существует точка пространства ${\displaystyle X}$ , содержащаяся в ${\displaystyle k}$  элементах данного покрытия.

Для топологических пространств

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства ${\displaystyle X}$  размерностью Лебега называется наименьшее целое число ${\displaystyle n}$  такое, что ко всякому конечному открытому покрытию пространства ${\displaystyle X}$  существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие а кратности ${\displaystyle n+1}$ .

При этом покрытие ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$  называется вписанным в покрытие ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ , если каждый элемент покрытия ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$  является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ .

• Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
  • См. также нульмерное пространство.
• Одномерные пространства: окружность, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, губка Менгера
  • См. также кривая Урысона

Впервые введена Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность ${\displaystyle n}$ -мерного куба равна ${\displaystyle n}$ . Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта ${\displaystyle \dim X}$  (для класса метрических компактов) дал Урысон.

• Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973