Разложе́ние Холе́цкого — представление симметричной положительно-определённой матрицы в виде , где — нижняя треугольная матрица со строго положительными элементами на диагонали. Иногда разложение записывается в эквивалентной форме: , где — верхняя треугольная матрица. Разложение Холецкого всегда существует и единственно для любой симметричной положительно-определённой матрицы.
Существует также обобщение этого разложения на случай комплекснозначных матриц. Если — положительно-определённая эрмитова матрица, то существует разложение , где — нижняя треугольная матрица с положительными действительными элементами на диагонали, а — эрмитово-сопряжённая к ней матрица.
Разложение названо в честь французского математика Андре-Луи Холецкого (1875-1918).
Элементы матрицы можно вычислить, начиная с верхнего левого угла матрицы, по формулам:
Выражение под корнем всегда положительно, если — действительная положительно-определённая матрица.
Вычисление происходит сверху вниз, справа налево, т.е. сперва , а затем .
Для комплекснозначных эрмитовых матриц используются формулы:
Это разложение может применяться для решения системы линейных уравнений , если матрица симметрична и положительно-определена. Такие матрицы часто возникают, например, при использовании метода наименьших квадратов и численном решении дифференциальных уравнений.
Выполнив разложение , решение получается последовательным решением двух треугольных систем уравнений: и . Такой способ решения иногда называется методом квадратных корней.[1] По сравнению с более общими методами, такими как метод Гаусса или LU-разложение, он устойчивее численно и требует примерно вдвое меньше арифметических операций. [2]
Разложение Холецкого также применяется в методах Монте-Карло для генерации коррелированных случайных величин. Пусть — вектор из независимых стандартных нормальных случайных величин, а — желаемая ковариационная матрица. Тогда вектор будет иметь многомерное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей . [3]