Псевдоскалярное произведение

Псевдоскалярное или косое произведение векторов $a$ и $b$ на плоскости называют число

\mathbf {a} \vee \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\sin \angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ),

где $\angle (a,b)$ — угол вращения (против часовой стрелки) от $a$ к $b$ . Если хотя бы один из векторов $a$ и $b$ нулевой, то полагают $a\vee b=0$ .

Записывается с помощью тензора Леви-Чивиты $\varepsilon _{ij}$ через координаты векторов так:

\mathbf {a} \vee \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{2}\varepsilon _{ij}a^{i}b^{j}

Свойства

$\mathbf {a} \vee \mathbf {b} =-\mathbf {b} \vee \mathbf {a}$ .
$\mathbf {a} \vee \mathbf {b}$ является псевдоскаляром, то есть инвариантом при всех невырожденных изометриях, не включающих отражений.
Псевдоскалярное произведение $\mathbf {a} \vee \mathbf {b}$ — это ориентированная площадь параллелограмма, натянутого на векторы a и b.
- Абсолютная величина псевдоскалярного произведения $|\mathbf {a} \vee \mathbf {b} |$ — это площадь такого параллелограмма.
- Ориентированная площадь треугольника $\triangle ABC$ выражается формулой
  $S(A,B,C)={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {AB}}\vee {\overrightarrow {AC}}),$
а его площадь, следовательно, равна модулю этой величины.
Если рассмотривать плоскость в трёхмерном пространстве, то
$a\vee b=\pm (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {n} ,$
где « $\times$ » и « $\ \cdot$ » соответственно — векторное и скалярное произведение, а n — единичный вектор нормали к плоскости. Знак плюс берется в случае, если правый базис на плоскости, дополненный вектором n образует также правый базис; в противном случае минус.
$\mathbf {a} \vee \mathbf {b} =\mathbf {0}$ — необходимое и достаточное условие параллельности (или антипараллельности) векторов на плоскости.

См. также