Прямоугольная функция

Прямоугольная функция, единичный импульс, или нормированное прямоугольное окно задаётся следующим выражением:

Прямоугольная функция

${\displaystyle \mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}}$

Другое определение функции через функцию Хевисайда, ${\displaystyle u(t)}$:

${\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=u\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-u\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)}$

или, иначе:

${\displaystyle \mathrm {rect} (t)=u\left(t+{\frac {1}{2}}\right)\cdot u\left({\frac {1}{2}}-t\right)}$

Нормированная прямоугольная функция:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\,dt=1}$

Преобразование Фурье прямоугольной функции:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)}$,

при нормировке sinc-функции,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt=\mathrm {sinc} (f)}$

Треугольная функция может быть определена как свёртка двух прямоугольных функций:

${\displaystyle \mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t)}$