Прямая

• Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
• Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
• Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными (следует из предыдущего).
• В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух несовпадающих прямых:
  • прямые пересекаются;
  • прямые параллельны;
  • прямые скрещиваются.
• Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

${\displaystyle Ax+By+C=0,}$ 

где ${\displaystyle A,B}$  и ${\displaystyle C}$  — произвольные постоянные, причём постоянные ${\displaystyle A}$  и ${\displaystyle B}$  не равны нулю одновременно.

При ${\displaystyle A=0}$  прямая параллельна оси ${\displaystyle Ox}$ , при ${\displaystyle B=0}$  — параллельна оси ${\displaystyle Oy}$ .

Вектор с координатами ${\displaystyle (A,B)}$  называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При ${\displaystyle C=0}$  прямая проходит через начало координат.

Также уравнение можно переписать в виде

${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.}$ 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой линии, пересекающей ось ${\displaystyle Oy}$  в точке ${\displaystyle (0,\;b)}$  и образующей угол ${\displaystyle \varphi }$  с положительным направлением оси ${\displaystyle Ox}$ :

${\displaystyle y=kx+b,\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi .}$ 

Коэффициент ${\displaystyle k}$  называется угловым коэффициентом прямой.

В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси ${\displaystyle Oy.}$  (Иногда в этом случае формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».)

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой линии, пересекающей ось ${\displaystyle Ox}$  в точке ${\displaystyle (a,\;0)}$  и ось ${\displaystyle Oy}$  в точке ${\displaystyle (0,\;b)}$ :

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\quad (a\neq 0,\;b\neq 0).}$ 

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

Нормальное уравнение прямой

${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta -p=0,}$ 

где ${\displaystyle p}$  — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а ${\displaystyle \theta }$  — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси ${\displaystyle Ox}$  и направлением этого перпендикуляра. Если ${\displaystyle p=0}$ , то прямая проходит через начало координат, а угол ${\displaystyle \theta =\varphi +{\frac {\pi }{2}}}$  задаёт угол наклона прямой.

Если прямая задана общим уравнением ${\displaystyle Ax+By+C=0,}$  то отрезки ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b,}$  отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент ${\displaystyle k,}$  расстояние прямой от начала координат ${\displaystyle p,}$  ${\displaystyle \cos \theta }$  и ${\displaystyle \sin \theta }$  выражаются через коэффициенты ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$  и ${\displaystyle C}$  следующим образом:

${\displaystyle a=-{\frac {C}{A}},\quad b=-{\frac {C}{B}},\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi =-{\frac {A}{B}},\quad \varphi =\theta -{\frac {\pi }{2}},}$ 

${\displaystyle p={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}.}$ 

Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие ${\displaystyle p>0.}$  В этом случае ${\displaystyle \cos \theta }$  и ${\displaystyle \sin \theta }$  являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если ${\displaystyle C=0,}$  то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки

Если заданы две несовпадающие точки с координатами ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}$  и ${\displaystyle (x_{2},\;y_{2})}$ , то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0}$ 

или

${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$ 

или в общем виде

${\displaystyle \left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)=0.}$ 

Векторное параметрическое уравнение прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором ${\displaystyle {\vec {r}}_{0},}$  конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой ${\displaystyle {\vec {u}}.}$  Параметр ${\displaystyle t}$  пробегает все действительные значения.

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+t{\vec {u}}.}$ 

Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,\\y=y_{0}+a_{y}t,\end{cases}}}$ 

где ${\displaystyle t}$  — произвольный параметр, ${\displaystyle a_{x},\;a_{y}}$  — координаты ${\displaystyle x}$  и ${\displaystyle y}$  направляющего вектора прямой. При этом

${\displaystyle k={\frac {a_{y}}{a_{x}}},\quad a={\frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y}}},\quad b={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}},}$ 

${\displaystyle p={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {a_{x}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {a_{y}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}.}$ 

Смысл параметра ${\displaystyle t}$  аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}\Longleftrightarrow {\frac {x-x_{0}}{a_{x}}}={\frac {y-y_{0}}{a_{y}}}}$ 

где ${\displaystyle a_{x},a_{y}}$  — координаты ${\displaystyle x}$  и ${\displaystyle y}$  направляющего вектора прямой, ${\displaystyle x_{0}}$  и ${\displaystyle y_{0}}$  координаты точки, принадлежащей прямой.

Уравнение прямой в полярных координатах

Уравнение прямой в полярных координатах ${\displaystyle \rho }$  и ${\displaystyle \varphi }$ :

${\displaystyle \rho (A\cos \varphi +B\sin \varphi )+C=0}$ 

или

${\displaystyle \rho \cos(\varphi -\theta )=p.}$ 

Тангенциальное уравнение прямой

Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:

${\displaystyle \xi x+\eta y=1.}$ 

Числа ${\displaystyle \xi }$  и ${\displaystyle \eta }$  называются её тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами.

Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+t{\vec {a}},\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),}$ 

где ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$  — радиус-вектор некоторой фиксированной точки ${\displaystyle M_{0},}$  лежащей на прямой, ${\displaystyle {\vec {a}}}$  — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором), ${\displaystyle {\vec {r}}}$  — радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрические уравнения прямой в пространстве:

${\displaystyle x=x_{0}+t\alpha ,\;y=y_{0}+t\beta ,\;z=z_{0}+t\gamma ,\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),}$ 

где ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0},\;z_{0})}$  — координаты некоторой фиксированной точки ${\displaystyle M_{0},}$  лежащей на прямой; ${\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )}$  — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{\alpha }}={\frac {y-y_{0}}{\beta }}={\frac {z-z_{0}}{\gamma }},}$ 

где ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0},\;z_{0})}$  — координаты некоторой фиксированной точки ${\displaystyle M_{0},}$  лежащей на прямой; ${\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )}$  — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Общее векторное уравнение прямой^{[уточнить]} в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:

${\displaystyle ({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{1})+D_{1}=0}$  и ${\displaystyle ({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{2})+D_{2}=0,}$ 

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{1})+D_{1}=0,\\({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{2})+D_{2}=0.\end{cases}}}$ 

Векторное уравнение прямой в пространстве^[1]:196-199:

Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой ${\displaystyle {\vec {r}}}$  на фиксированный направляющий вектор прямой ${\displaystyle {\vec {a}}}$ :

${\displaystyle [{\vec {r}},{\vec {a}}]={\vec {M}},}$ 

где фиксированный вектор ${\displaystyle {\vec {M}}}$ , ортогональный вектору ${\displaystyle {\vec {a}}}$ , можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.

Три точки ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}$ , ${\displaystyle (x_{2},\;y_{2})}$  и ${\displaystyle (x_{3},\;y_{3})}$  лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.}$ 

Отклонение точки ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}$  от прямой ${\displaystyle Ax+By+C=0}$  может быть найдено по формуле

${\displaystyle \delta ={\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},}$ 

где знак перед радикалом противоположен знаку ${\displaystyle C.}$  Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

В пространстве расстояние от точки ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1},\;z_{1})}$  до прямой, заданной параметрическим уравнением

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+t\alpha ,\\y=y_{0}+t\beta ,\quad t\in \mathbb {R} \\z=z_{0}+t\gamma ,\end{cases}}}$ 

можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент ${\displaystyle t}$  этой точки может быть найден по формуле

${\displaystyle t_{\min }={\frac {\alpha (x_{1}-x_{0})+\beta (y_{1}-y_{0})+\gamma (z_{1}-z_{0})}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}.}$ 

Две прямые, заданные уравнениями

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$ 

или

${\displaystyle y=k_{1}x+b_{1},\quad y=k_{2}x+b_{2}}$ 

пересекаются в точке

${\displaystyle x={\frac {B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {b_{1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},\quad y={\frac {C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1}}}.}$ 

Угол ${\displaystyle \gamma _{12}}$  между пересекающимися прямыми определяется формулой

${\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{12}={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.}$ 

При этом под ${\displaystyle \gamma _{12}}$  понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами ${\displaystyle A_{1}}$ , ${\displaystyle B_{1}}$ , ${\displaystyle C_{1}}$ , ${\displaystyle k_{1}}$  и ${\displaystyle b_{1}}$ ) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если ${\displaystyle A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0}$  или ${\displaystyle k_{1}=k_{2}}$ , и перпендикулярны, если ${\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0}$  или ${\displaystyle k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}}$ .

Любую прямую, параллельную прямой с уравнением ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,}$  можно выразить уравнением ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C=0.}$  При этом расстояние между этими прямыми будет равно

${\displaystyle \delta ={\frac {C_{1}-C}{\pm {\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}};}$ 

Если же уравнение прямой задано как ${\displaystyle y_{1}=kx_{1}+b_{1}}$ , а уравнение прямой параллельной ей ${\displaystyle y=kx+b}$ , то расстояние можно вычислить, как

${\displaystyle \delta ={\frac {|b_{1}-b|}{\sqrt {1+k^{2}}}}.}$ 

Если знак перед радикалом противоположен ${\displaystyle C_{1},}$  то ${\displaystyle \delta }$  будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\quad A_{3}x+B_{3}y+C_{3}=0}$ 

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

${\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix}}=0.}$ 

Если ${\displaystyle A_{2}=-B_{1}}$  и ${\displaystyle B_{2}=A_{1}}$ , то прямые ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0}$  и ${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$  перпендикулярны.

• Точка
• Интервал
• Отрезок
• Геодезическая
• шаблон не поддерживает такой синтаксис
• шаблон не поддерживает такой синтаксис
• Плоскость

• Математическая энциклопедия (в 5 томах), Москва, «Советская энциклопедия», 1982 г.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике. — Выпуск 4. — Гостехиздат, 1952 г. — 32 стр.
• Прямая в пространстве, справочник математических формул «Прикладная математика»
• Прямая на плоскости, справочник математических формул «Прикладная математика»