При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Согласно примеру Д. Гильберта («точкой можно назвать хоть стул»), может обозначать достаточно произвольные объекты, даже изображение которых будет зависеть от выбранной аксиоматики и/или модели геометрии. Например, в модели Пуанкарегеометрии Лобачевского прямыми являются полуокружности.
Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен кратчайшему расстоянию между двумя точками.
Аналитически прямая задаётся уравнением (в трёхмерном пространстве — системой уравнений) первой степени.
В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси (Иногда в этом случае формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».)
Получение уравнения прямой в отрезках
Уравнение прямой в отрезках
Уравнение прямой линии, пересекающей ось в точке и ось в точке :
В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.
Нормальное уравнение прямой
где — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси и направлением этого перпендикуляра. Если , то прямая проходит через начало координат, а угол задаёт угол наклона прямой.
Вывод нормального уравнения прямой
Пусть дана прямая Тогда и Рассмотрим для этого перпендикуляра его орт Допустим, что угол между и осью равен Так как то можно записать: Теперь рассмотрим произвольную точку Проведём радиус-вектор Теперь найдём проекцию на вектор Следовательно, Это и есть нормальное уравнение прямой.
■
Если прямая задана общим уравнением то отрезки и отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент расстояние прямой от начала координат и выражаются через коэффициенты , и следующим образом:
Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие В этом случае и являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки
Если заданы две несовпадающие точки с координатами и , то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением
или
или в общем виде
Получение векторного параметрического уравнения прямой
Векторное параметрическое уравнение прямой
Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой Параметр пробегает все действительные значения.
Параметрические уравнения прямой
Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:
где — произвольный параметр, — координаты и направляющего вектора прямой. При этом
Смысл параметра аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.
Каноническое уравнение прямой
Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:
Вывод
где — координаты и направляющего вектора прямой, и координаты точки, принадлежащей прямой.
Числа и называются её тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами.
Уравнения прямой в пространстве
Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:
где — радиус-вектор некоторой фиксированной точки лежащей на прямой, — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором), — радиус-вектор произвольной точки прямой.
то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:
Векторное уравнение прямой в пространстве[1]:196-199:
Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой на фиксированный направляющий вектор прямой :
где фиксированный вектор , ортогональный вектору , можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.
Взаимное расположение точек и прямых на плоскости
Три точки , и лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие
Отклонение точки от прямой может быть найдено по формуле
где знак перед радикалом противоположен знаку Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.
В пространстве расстояние от точки до прямой, заданной параметрическим уравнением
можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент этой точки может быть найден по формуле
Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости
Две прямые, заданные уравнениями
или
пересекаются в точке
Угол между пересекающимися прямыми определяется формулой
При этом под понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами , , , и ) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.