Пространство непрерывных функций

Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке $[a,b]$ функции (обычно обозначается ${\mathrm {C} }[a,b]$ ) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:

||x||_{{\mathbf {C} }[a,b]}=\max _{t\in [a,b]}|x(t)|

Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, т. к. сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.

Свойства

Если последовательность $x_{n}$ элементов из ${\mathbf {C} }$ $[a,b]$ сходится в этом пространстве к некоторой предельной функции $x(t)$ , то $\displaystyle {x_{n}{\stackrel {t\in [a,b]}{\rightrightarrows }}x}$ при $n\to \infty$ .
- Отсюда: ${\mathrm {C} }$ $[a,b]$ — банахово пространство.
Пространство непрерывных функций сепарабельно: счётное всюду плотное множество в нём образует множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Это утверждение получается как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса.
В ${\mathrm {C} }$ $[a,b]$ не выполняется тождество параллелограмма, поэтому норма в нём не порождает никакого скалярного произведения.

Вариации и обобщения

Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:

||x||=\int \limits _{a}^{b}|x(t)|\,dt

В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность $x_{n}$

x_{n}(t)={\begin{cases}1,\quad t\geq {\frac {1}{n}}\\nt,\quad t\in (-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}})\\-1,\quad t\leq -{\frac {1}{n}}\end{cases}}

Его пополнение есть $L[a,b]$ — пространство суммируемых функций.

Литература

А. Н. Колмогоров, С. И. Фомин. «Элементы теории функций и функционального анализа», М.: Наука, 2004.

Л. А. Люстерник, В. В. Соболев. «Элементы функционального анализа», М.: Наука, 1965.

M. Reed, B. Simon. «Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis», Academic Press New York London, 1973.

К. Иосида. «Функциональный анализ», Мир: Москва, 1967.

Шаблон:Noiwiki