Проективное пространство

Проекти́вное простра́нство над телом  — пространство состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства над данным телом. Данные прямые называются точками проективного пространства.

Если имеет размерность , то размерностью проективного пространства называется число а само проективное пространство обозначается и называется ассоциированным с (чтобы это указать, принято обозначение ).

Точки можно описывать с помощью однородных координат.

Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской, что наиболее интересно в случае проективной плоскости. Тогда оказывается, что проективная плоскость, определённая аксиомами, может быть определена как двухмерное проективное пространство над некоторым телом тогда и только тогда, когда выполняется т. н. аксиома Дезарга, которая для размерностей больших 2 является теоремой.

Связанные определения

  • Пусть   есть гиперплоскость в линейном пространстве  . Проективное пространство   называется проективной гиперплоскостью  .

Свойства

  • На дополнении проективной гиперплоскости   существует естественная структура аффинного пространства.
  • Обратно, взяв за основу аффинное пространство   можем получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.

Тавтологическое расслоение

Тавтологическим расслоением   называется векторное расслоение, пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения  

 

а слоем — вещественная прямая  . Каноническая проекция   отображает прямую, проходящую через точки  , в соответствующую точку проективного пространства. При   это расслоение не является тривиальным. При   пространством расслоения является лента Мёбиуса.

Литература

  • Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
  • Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: МГУ, 1980.
  • Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
  • Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
  • Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
  • Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.