Проективная плоскость

Проекти́вная пло́скость — двумерное проективное пространство. Проективная плоскость отличается важной ролью, которую играет т. н. аксиома Дезарга, в проективных пространствах больших размерностей являющаяся теоремой.

Проективная плоскость над телом $K$ это множество прямых (одномерных подпространств) трёхмерного линейного пространства $K^{3}$ . Данные прямые называются точками проективной плоскости. Проективаная плоскость над телом $K$ обычно обозначается $K\mathrm {P} ^{2}$ , например $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}$ , $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$ , $\mathbb {H} \mathrm {P} ^{2}$ и т. д..

Классическая проективная плоскость

Классическая проективная плоскость П определяется следующими аксиомами. Первые четыре из них являются обязательными.

П1. Через две различные точки P и Q плоскости П проходит прямая, причём только одна.
П2. Любые две прямые имеют общую точку.
П3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
П4. Каждая прямая содержит не менее трёх точек

Дополнительными аксиомами являются следующие:

П5. Аксиома Дезарга.
Файл:Ax des.gif
Аксиома Дезарга
Если треугольники ABC и A’B’C' таковы, что прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в точке O, то точки пересечения пар соответствующих сторон AB и A’B' (P), BC и B’C' (R), AC и A’C'(Q) лежат на одной прямой.
П6. Аксиома Паппа.

Аксиома Паппа
Если l и l' две различные прямые, A,B,С — три различные точки на прямой l, а A',B',C' — три различные точки l', причём все эти точки отличны от О — точки пересечения прямых l и l' , то точки пересечения пар соответствующих сторон AB' и A’B (P), BC' и B’C (R), AC' и A’C (Q) лежат на одной прямой.
П7. Аксиома Фано.

Аксиома Фано
Пусть A, B, C, D — точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведём все шесть прямых, соединяющих эти точки (AB, AC, AD, BC, BD, CD). Обозначим точку пересечения AB и CD через P, AC и BD через Q и AD и BC через R (диагональные точки). Эти диагональные точки не лежат на одной прямой.

Для любой проективной плоскости над телом выполняются аксиомы П1-П4 и аксиома Дезарга П5. Обратно, если в плоскости П выполняется аксиома Дезарга П5, то она есть проективная плоскость над некоторым телом $K$ .

Если выполняются аксиома Паппа П6 и аксиомы П1-П4, то выполняется и аксиома Дезарга П5. В этом случае П является проективной плоскостью над полем (то есть тело K коммутативно). Обратно, в любой проективной плоскости над полем выполняется аксиома Паппа.

Если выполняются аксиомы П1-П4 и аксиома Дезарга П5, то аксиома Фано П6 выполняется тогда и только тогда, когда П является проективной плоскостью над телом $K$ характеристики ≠2.

Топология вещественной проективной плоскости

Проективная плоскость как квадрат со склеенными сторонами

Проективная плоскость как круг с приклеенным листом Мёбиуса

Представим вещественную проективную плоскость P²(R) как множество прямых в R³ . Её точки образуют пучок всех прямых, проходящих через начало координат. Построим единичную сферу. Тогда каждая наша прямая (точка P²(R)) пересекает сферу в двух противоположных точках: x и -x. Из этого легко получается другая модель. Отбросим верхнюю полусферу z > 0. Каждой точке на отброшенной полусфере соответствует точка на нижней полусфере, а диаметрально противоположные точки на экваториальной окружности нижней полусферы отождествляются. «Выпрямляя» полусферу получаем круг, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки граничной окружности. Круг гомеоморфен квадрату, противоположные стороны которого отождествляются (в направлении стрелок). Как показано на следующем рисунке этот квадрат гомеоморфен кругу D² с приклеенным листом Мёбиуса μ. Поэтому проективная плоскость неориентируема.

Файл:Trian proj pl.gif

Триангуляция проективной плоскости

Группы гомологий проективной плоскости легко вычисляются: H₀(P²) =Z , H₁(P²)=Z₂ и H₂(P²)=0 , числа Бетти (ранги групп гомологий) равны соответственно b₀=1, b₀=0, b₂=0 и эйлерова характеристика равна знакочередующейся сумме χ(P²)=b₀-b₁+b₂=1 Можно вычислить эйлерову характеристику и непосредственно из триангуляции χ(P²) (см. рис. слева) — число вершин равно 6, ребер 12 и граней 7, значит χ(P²)=6-12+7=1.

Согласно известной теореме о классификации поверхностей среди всех компактных, связных, замкнутых гладких многообразий проективная плоскость однозначно определяется тем, что она неориентируема и её эйлерова характеристика равна 1.

Фундаментальная группа π₁(P²)= Z₂, высшие гомотопические группы соответствуют таковым для сферы π_n(P²)=π_n(S²) для n≥2.

Литература

Артин Э. Геометрическая алгебра. -М.:Наука, 1969
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. -М:Наука, 1979
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. -М:Наука, 1984
Кокстер Г. С. М. Действительная проективная плоскость. -М:Физматгиз, 1959
Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. -М:Наука, 1966
Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. -М:МГУ, 1998
Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. -М.:Мир, 1970

См. также

Лист Мёбиуса