Правильный многоугольник

Координаты

Пусть ${\displaystyle x_{C}}$  и ${\displaystyle y_{C}}$  — координаты центра, а ${\displaystyle R}$  — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, ${\displaystyle {\phi }_{0}}$  — угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:

${\displaystyle x_{i}=x_{C}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}$ 

${\displaystyle y_{i}=y_{C}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}$ 

где ${\displaystyle i=0\dots n-1}$ 

Размеры

Пусть ${\displaystyle R}$  — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

${\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{n}}}$ ,

а длина стороны многоугольника равна

${\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{n}}=2r\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}$ 

Площадь

Площадь правильного многоугольника с числом сторон ${\displaystyle n}$  и длиной стороны ${\displaystyle a}$  составляет:

${\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}}$ .

Площадь правильного многоугольника с числом сторон ${\displaystyle n}$ , вписанного в окружность радиуса ${\displaystyle R}$ , составляет:

${\displaystyle S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}}$ .

Площадь правильного многоугольника с числом сторон ${\displaystyle n}$ , описанного вокруг окружности радиуса ${\displaystyle r}$ , составляет:

${\displaystyle S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}$ (площадь основания n-угольной правильной призмы)

Площадь правильного многоугольника с числом сторон ${\displaystyle n}$  равна

${\displaystyle S={\frac {nra}{2}}}$ ,

где ${\displaystyle r}$  — расстояние от середины стороны до центра, ${\displaystyle a}$  — длина стороны.

Площадь правильного многоугольника через периметр (${\displaystyle P}$ ) и радиус вписанной окружности (${\displaystyle r}$ ) составляет:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}Pr}$ .

Периметр

Если нужно вычислить длину стороны(aⁿ) правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности(L) можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

${\displaystyle a_{n}}$  — длина стороны правильного n-угольника.

${\displaystyle a_{n}=\sin {\frac {180}{n}}\cdot {\frac {L}{\pi }}}$ 

Периметр ${\displaystyle P_{n}}$  равен

${\displaystyle P_{n}=a_{n}\cdot n}$ 

где ${\displaystyle n}$  — чилсо сторон многоугольника.

Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников.

Древнегреческие математики (Антифонт, Брисон Гераклейский, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.^[1]

Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Евклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2^m сторонами (при целом m > 1), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2^{m — 1}: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Эвклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r · s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с ${\displaystyle 2^{m}\cdot {p_{1}}^{k_{1}}\cdot {p_{2}}^{k_{2}}}$  сторонами, где m — целое неотрицательное число, ${\displaystyle {p_{1}},{p_{2}}}$  — числа 3 и 5, а ${\displaystyle {k_{1}},{k_{2}}}$  принимают значения 0 или 1.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. На сегодняшний день известны следующие простые числа Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537. Вопрос о наличии или отсутствии других таких чисел остаётся открытым. Если брать в общем, из этого следует, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно ${\displaystyle 2^{k_{0}}{p_{1}}^{k_{1}}{p_{2}}^{k_{2}}\cdots {p_{s}}^{k_{s}}}$ , где ${\displaystyle {k_{0}}}$  — целое неотрицательное число, ${\displaystyle {k_{1}},{k_{2}},\dots ,{k_{s}}}$  принимают значения 0 или 1, а ${\displaystyle {p_{j}}}$  — простые числа Ферма.

Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году.

Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

С тех пор проблема считается полностью решённой.

• Правильный многогранник