Полугруппа

• Положительные целые числа с операцией сложения.
• Любая группа является также и полугруппой.
• Идеал кольца всегда является полугруппой относительно операции умножения.
• Множество всех отображений множества в себя с операцией суперпозиции отображений
• Множество всех бинарных отношений на множестве с операцией умножения бинарных отношений.
• Множество всех слов над некоторым алфавитом с операцией конкатенации (присоединения)

Две полугруппы S и T называются изоморфными, если существует биекция f : S → T, такая что ${\displaystyle \forall a,\ b\in S\ f(ab)=f(a)f(b)}$ .

Если ${\displaystyle A,B\subset S}$ , то принято обозначать ${\displaystyle AB=\{ab|a\in A,b\in B\}}$ 

Подмножество A полугруппы S называется подполугруппой, если оно замкнуто относительно полугрупповой операции и само в свою очередь является полугруппой.

Если подмножество A непусто и AS (SA) лежит в A, то A называют правым (левым) идеалом. Если A является одновременно левым и правым иделом, то его называют двусторонним идеалом, или просто идеалом.

Пересечение двух идеалов - также идеал; из этого следует, что полугруппа не может иметь более одного наименьшего идеала. Пример полугруппы, в которой нет наименьшего идеала - положительные целые числа с операцией сложения. Если же наименьший идеал есть, а полугруппа коммутативна, то он является группой.

Благодаря ассоциативности, можно корректно определить натуральную степень элемента полугруппы как

${\displaystyle a^{n}={\overset {n\ \mathrm {PA} 3}{\overbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} }}}$ .

Для степени элемента справедливо ${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n},(a^{n})^{m}=a^{nm},\forall n,m\in \mathbb {N} }$ .

Частным случаем полугрупп являются полугруппы с делением, в которых для каждых двух элементов a и b определено правое (a/b) и левое (b\a) частное.

В 1951 году Грин ввел пять фундаментальных отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались существенными для понимания полугруппы как в локальном, так и в глобальном аспектах. Отношения Грина на полугруппе ${\displaystyle S}$  определяются следующими формулами

${\displaystyle aRb\Leftrightarrow aS^{1}=bS^{1}\ \ \ \ \ \ \ \ aLb\Leftrightarrow S^{1}a=S^{1}b\ \ \ \ \ \ \ \ \ aJb\Leftrightarrow S^{1}aS^{1}=S^{1}bS^{1}}$ 

${\displaystyle H=L\cap R\ \ \ \ \ \ \ \ \ D=R\vee L}$ 

Уже из определения видно, что R - левая конгруэнция, а L - правая конгруэнция. Также известно, что ${\displaystyle D=R\circ L=L\circ R}$ . Одним из наиболее фундаментальных утверждений в теории полугрупп является лемма Грина, которая утверждает, что если элементы a и b R-эквивалентны, u,v такие, что au=b, bv=a и ${\displaystyle p_{u},p_{v}}$  - соответствующие правые сдвиги, то ${\displaystyle p_{u},p_{v}}$  - взаимно обратные биекции ${\displaystyle L_{a}}$  на ${\displaystyle L_{b}}$  и наоборот соответственно. Также они сохраняют H-классы.

• Алгебраическая система