Полное метрическое пространство

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится.

Всякое метрическое пространство ${\displaystyle X=(X,\rho )}$  можно вложить в полное пространство ${\displaystyle Y}$  таким образом, что метрика ${\displaystyle Y}$  продолжает метрику ${\displaystyle X}$ , а подпространство ${\displaystyle X}$  всюду плотно в ${\displaystyle Y}$ . Такое пространство ${\displaystyle Y}$  называется пополнением ${\displaystyle X}$  и обычно обозначается ${\displaystyle {\bar {X}}}$ .

Построение

Для метрического пространства ${\displaystyle X=(X,\rho )}$ , на множестве фундаментальных последовательностей в ${\displaystyle X}$  можно ввести отношение эквивалентности

${\displaystyle (x_{n})\sim (y_{n})\Leftrightarrow \lim \rho (x_{n},y_{n})=0.}$ 

Множество классов эквивалентности ${\displaystyle {\bar {X}}}$  с метрикой, определённой

${\displaystyle {\bar {\rho }}((x_{n}),(y_{n}))=\lim \rho (x_{n},y_{n}),}$ 

является метрическим пространством. Само пространство ${\displaystyle (X,\rho )}$  изометрически вкладывается в него следующим образом: точке ${\displaystyle x\in X}$  соответствует класс постоянной последовательность ${\displaystyle x_{n}=x}$ . Получившееся пространство ${\displaystyle ({\bar {X}},{\bar {\rho }})}$  и будет пополнением ${\displaystyle X}$ .

• Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
• Пополнение метрического ${\displaystyle M}$  пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
• Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
• Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
• Критерий компактности метрического пространства: метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
• Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.

Полные пространства

• ${\displaystyle \mathbb {R} }$  — пример полного числового метрического пространства, в смысле стандартной метрики, введённой на множестве вещественных (действительных чисел). Критерий полноты метрического пространства в случае ${\displaystyle \mathbb {R} }$  носит особое название .
• Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно.
• Любое банахово пространство, в частности гильбертово пространство, полно по определению.

1. В частности, полным является банахово пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой.

Неполные пространства

• Рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  со стандартным расстоянием ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$  являются неполным метрического пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .
• Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ .
• Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций. Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.

• Если ${\displaystyle X}$  имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.

• Зорич В.А. "Математический анализ", т.2, гл.IX, §5.