Полная производная функции

Полная производная функции — производная по ${\displaystyle t}$ от функции ${\displaystyle y=f(t,u,v,\dots ,z)}$, зависящей от переменной ${\displaystyle t}$ как непосредственно, так и через промежуточные переменные ${\displaystyle u=u(t,x_{1},\dots ,x_{n}),v=v(t,x_{1},\dots ,x_{n}),\dots ,z=z(t,x_{1},\dots ,x_{n})}$, вычисляемая по формуле
${\displaystyle {df \over dt}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial t}}+\dots +{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial t}}}$,
где ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial u}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial z}},{\frac {\partial u}{\partial t}},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial t}}}$ — частные производные.

Например, полная производная функции f(x(t), y(t)):

${\displaystyle {df \over dt}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}}$

Здесь нет ${\displaystyle {\partial f \over \partial t}}$ так как f сама по себе не зависит от t.

Материал взят из Математической энциклопедии.