Поле (алгебра)

В рамках понятия о поле неявно работал ещё Галуа в 1830 году, с использованием идеи алгебраического расширения поля ему удалось найти необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение от одной переменной можно было решить в радикалах. Позднее при помощи теории Галуа была доказана невозможность решения таких классических задач, как квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба.

Явное определение понятия поля относят к Дедекинду (1871 год), который использовал немецкий термин Körper (тело). Термин «поле» (англ. field) ввёл в 1893 году американский математик Элиаким Гастингс Мур^[1].

Будучи наиболее близким из всех общеалгебраических абстракций к обычным числам, поле используется в линейной алгебре как структура, универсализирующая понятие скаляра, и основная структура линейной алгебры — линейное пространство — определяется как конструкция над произвольным полем. Также теория полей в значительной степени составляет инструментальную основу таких разделов, как алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел.

Алгебра над множеством ${\displaystyle F}$ , образующая коммутативную группу по сложению ${\displaystyle +}$  над ${\displaystyle F}$  с нейтральным элементом ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$  и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами ${\displaystyle F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}}$ , при выполняющемся свойстве дистрибутивности умножения относительно сложения.

Если раскрыть указанное выше определение, то множество ${\displaystyle F}$  с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения ${\displaystyle +}$  и умножения ${\displaystyle *}$  (${\displaystyle +\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F}$ , т. е. ${\displaystyle \forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F}$ ) называется полем ${\displaystyle \left\langle F,+,*\right\rangle }$ , если выполнены следующие аксиомы:

1. Коммутативность сложения: ${\displaystyle \forall a,b\in F\quad a+b=b+a}$ .
2. Ассоциативность сложения: ${\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)}$ .
3. Существование нулевого элемента: ${\displaystyle \exists {\boldsymbol {0}}\in F\colon \forall a\in F\quad a+{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}+a=a}$ .
4. Существование противоположного элемента: ${\displaystyle \forall a\in F\;\exists (-a)\in F\colon a+(-a)={\boldsymbol {0}}}$ .
5. Коммутативность умножения: ${\displaystyle \forall a,b\in F\quad a*b=b*a}$ .
6. Ассоциативность умножения: ${\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)}$ .
7. Существование единичного элемента: ${\displaystyle \exists e\in F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}\colon \forall a\in F\quad a*e=a}$ .
8. Существование обратного элемента для ненулевых элементов: ${\displaystyle (\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0}})\;\exists a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e}$ .
9. Дистрибутивность умножения относительно сложения: ${\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)}$ .

Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению ${\displaystyle +}$  над ${\displaystyle F}$ , аксиомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению ${\displaystyle *}$  над ${\displaystyle F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}}$ , а аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.

Аксиомы 1-7 и 9 — это определение коммутативного кольца с единицей.

Исключив аксиому коммутативности умножения, получим определение тела.

В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее) поле может быть определено как коммутативное кольцо, являющееся телом. Иерархия структур следующая:

Коммутативные кольца ⊃ Области целостности ⊃ Факториальные кольца ⊃ Области главных идеалов ⊃ Евклидовы кольца ⊃ Поля.

Над полями естественным образом вводятся основные общеалгебраические определения: подполем называется подмножество, само являющееся полем относительно сужения на него операций из основного поля, расширением — поле, содержащее данное в качестве подполя.

Гомоморфизм полей вводится также естественным образом: как отображение ${\displaystyle f}$ , такое что ${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$ , ${\displaystyle f(ab)=f(a)\cdot f(b)}$  и ${\displaystyle f(1)=1}$ . В частности, никакой обратимый элемент при гомоморфизме не может перейти в ноль, так как ${\displaystyle f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1}$ , следовательно, ядро любого гомоморфизма полей нулевое, то есть гомоморфизм полей является вложением.

Характеристика поля — то же, что и характеристика кольца, наименьшее положительное целое число ${\displaystyle n}$  такое, что сумма ${\displaystyle n}$  копий единицы равна нулю:

${\displaystyle \underbrace {1+\dots +1} _{n}=n1=0.}$ 

Если такого числа не существует, то характеристика считается равной нулю. Задачу определения характеристики обычно решают с задействованием понятия простого поля — поля, не содержащего собственных подполей, благодаря факту, что любое поле содержит ровно одно из простых полей.

Поля Галуа — поля, состоящие из конечного числа элементов. Названы в честь их первого исследователя Эвариста Галуа.

• Характеристика поля всегда ${\displaystyle 0}$  или простое число.
  • Поле характеристики ${\displaystyle 0}$  содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .
  • Поле простой характеристики ${\displaystyle p}$  содержит подполе, изоморфное полю вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ .
• Количество элементов в конечном поле всегда равно ${\displaystyle p^{n}}$  — степени простого числа.
  • При этом для любого числа вида ${\displaystyle p^{n}}$  существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из ${\displaystyle p^{n}}$  элементов, обычно обозначаемое ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$ .
• В поле нет делителей нуля.
• Любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. В частности, мультипликативная группа ненулевых элементов конечного поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$  изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{q-1}}$ .
• С точки зрения алгебраической геометрии, поля — это точки, потому что их спектр состоит ровно из одной точки — идеала {0}. Действительно, поле не содержит других собственных идеалов: если к идеалу принадлежит ненулевой элемент, то в идеале находятся и все кратные ему, то есть всё поле. Обратно, коммутативное кольцо, не являющееся полем, содержит необратимый (и ненулевой) элемент a. Тогда главный идеал, порождённый a, не совпадает со всем кольцом и содержится в некотором максимальном (а следовательно простом) идеале, а значит спектр этого кольца содержит как минимум две точки.

Поля характеристики, равной 0

• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  — рациональные числа,
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$  — вещественные числа,
• ${\displaystyle \mathbb {C} }$  — комплексные числа,
• ${\displaystyle \mathbb {A} }$  — алгебраические числа над полем рациональных чисел (подполе в поле ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ).
• Числа вида ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$ , ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} }$ , относительно обычных операций сложения и умножения. Это один из примеров квадратичного поля, которое образует подполе в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .
• ${\displaystyle \mathbb {F} (x)}$  — поле рациональных функций вида ${\displaystyle f(x)/g(x)}$ , где ${\displaystyle f}$  и ${\displaystyle g}$  — многочлены над некоторым полем ${\displaystyle \mathbb {F} }$  (при этом ${\displaystyle g\neq 0}$ , а ${\displaystyle f}$  и ${\displaystyle g}$  не имеют общих делителей, кроме констант).

Поля ненулевой характеристики

Любое конечное поле имеет характеристику, отличную от нуля. Примеры конечных полей:

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$  — поле вычетов по модулю ${\displaystyle p}$ , где ${\displaystyle p}$  — простое число.
• ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$  — конечное поле из ${\displaystyle q=p^{k}}$  элементов, где ${\displaystyle p}$  — простое число, ${\displaystyle k}$  — натуральное. Все конечные поля имеют такой вид.

Существуют примеры бесконечных полей ненулевой характеристики.

• Алгебраически замкнутое поле

• Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы . — М.: Наука, 1965.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
• P. Aluffi. Chapter VII // Algebra: Chapter 0. — American Mathematical Society, 2009 . — (Graduate Studies in Mathematics ). — ISBN 0-8218-4781-3.
• Galois, Évariste. Sur la théorie des nombres (неопр.) // Bulletin des Sciences mathématiques. — 1830. — Т. XIII. — С. 428.
• Л. В. Кузьмин. Поле // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.