Показательная функция

Показательная функция — математическая функция $f(x)=a^{x}$ , где $a$ называется основанием степени, а $x$ — показателем степени.

В вещественном случае основание степени $a$ — некоторое неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.
В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
В самом общем виде — $u^{v}$ , введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Вещественная функция

Определение показательной функции

Пусть $a$ — неотрицательное вещественное число, $x$ — рациональное число: $x={\frac {m}{n}}$ . Тогда $a^{x}$ определяется по следующим правилам.

Если $x>0$ , то $a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ .
Если $x=0$ и $a\neq 0$ , то $a^{x}=1$ .
- Значение $0^{0}$ не определено (см. Раскрытие неопределённостей).
Если $x<0$ и $a>0$ , то $a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}$ .
- Значение $a^{x}$ при $x<0,a=0$ не определено.

Для произвольного вещественного показателя $x$ значение $a^{x}$ можно определить как предел последовательности $a^{r_{n}}$ , где $r_{n}$ — рациональные числа, сходящиеся к $x$ . Для экспоненты есть и другие определения через предел, например:

e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.

Свойства

График экспоненты

$a^{0}=1$
$a^{x+y}=a^{x}\,a^{y}$
$(a^{x})^{y}=a^{xy}$
$(ab)^{x}=a^{x}\,b^{x}$
$a^{x}$ / $b^{x}$ = $(a/b)^{x}$

Используя функцию натурального логарифма $\ln \,x$ , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту:

a^{x}=e^{x\cdot \ln a}

Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.

Аналитические свойства:

{d \over dx}a^{x}=(\ln a)a^{x}.

В частности:

{d \over dx}e^{x}=e^{x}

Доказательство

I. Докажем, что ${d \over dx}e^{x}=e^{x}$

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{x+\Delta x}-e^{x}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{x}\cdot (e^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}=e^{x}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=e^{x}\cdot 1=e^{x}$ . Ч. т. д.

Докажем, что $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=1$ . Пусть $e^{\Delta x}-1=u$ , тогда $e^{\Delta x}=u+1\Rightarrow \Delta x=\ln(u+1)$ . Если $\Delta x\to 0$ , то $u=e^{\Delta x}-1\to 0$

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=\lim _{u\to 0}{\frac {u}{\ln(u+1)}}=\lim _{u\to 0}{\frac {1}{{\frac {1}{u}}\ln(u+1)}}=\lim _{u\to 0}{\frac {1}{\ln(u+1)^{\frac {1}{u}}}}={\frac {\lim _{u\to 0}1}{\lim _{u\to 0}\ln(u+1)^{\frac {1}{u}}}}={\frac {1}{\ln \lim _{u\to 0}(u+1)^{\frac {1}{u}}}}={\frac {1}{\ln e}}=1.$

II. ${d \over dx}a^{x}={d \over dx}\left(e^{\ln a}\right)^{x}={d \over dx}e^{x\cdot \ln a}=e^{x\cdot \ln a}\cdot \ln a=a^{x}\cdot \ln a$ Ч. т. д.

Разложение в ряд:

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots

.

Асимптотика

Показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной:

\lim \limits _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0

Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Комплексная функция

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+\cdots

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для $e^{ix}$ вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

e^{ix}=\cos x+i\sin x

Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:

e^{z+2\pi i}=e^{z}

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: $i^{i}=e^{i~\ln(i)}$ ; поскольку $\ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}$ (главное значение логарифма), окончательно получаем: $i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}$ .

См. также

Литература

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тома I, II. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2.