Эту страницу предлагается объединить со страницей Антилогарифм. |
Показательная функция — математическая функция , где называется основанием степени, а — показателем степени.
Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).
Пусть — неотрицательное вещественное число, — рациональное число: . Тогда определяется по следующим правилам.
Для произвольного вещественного показателя значение можно определить как предел последовательности , где — рациональные числа, сходящиеся к . Для экспоненты есть и другие определения через предел, например:
Используя функцию натурального логарифма , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту:
Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.
Аналитические свойства:
В частности:
I. Докажем, что
. Ч. т. д.
Докажем, что . Пусть , тогда . Если , то
II. Ч. т. д.
Разложение в ряд:
Показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной:
Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.
Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:
Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:
Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:
Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.
Пример: ; поскольку (главное значение логарифма), окончательно получаем: .