Подобие

Учение о  подобии фигур было создано в Древней Греции в V—IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида.

• Каждая гомотетия является подобием.
• Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом ${\displaystyle k=1}$ .

• Описанная окружность есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 2.

• Фигура ${\displaystyle F}$  называется подобной фигуре ${\displaystyle F'}$ , если существует преобразование подобия, при котором ${\displaystyle F\to F'}$ .
  • Подобие фигур является отношением эквивалентности.

• Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
• Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка ${\displaystyle B}$  лежит между точками ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle C}$  и ${\displaystyle B'}$ , ${\displaystyle A'}$ , ${\displaystyle C'}$  — соответствующие их образы при некотором подобии, то ${\displaystyle B'}$  также лежит между точками ${\displaystyle A'}$  и ${\displaystyle C'}$ .
• Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
• Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
• При подобии угол сохраняет величину.
• Подобие с коэффициентом ${\displaystyle k\not =1}$ , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом ${\displaystyle k}$  или ${\displaystyle -k}$ .
  • Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения ${\displaystyle D}$  и некоторой гомотетии ${\displaystyle \Gamma }$  с положительным коэффициентом.
  • Подобие называется собственным (несобственным), если движение ${\displaystyle D}$  является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
• Два треугольника являются подобными, если
  • их соответственные углы равны, или
  • стороны пропорциональны. См. также Признаки подобия треугольников.
• Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).

Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.

В метрических пространствах так же, как в ${\displaystyle n}$ -мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет ${\displaystyle r}$ -членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов ${\displaystyle r}$ -членная группа подобных преобразований Ли содержит ${\displaystyle (r-1)}$ -членную нормальную подгруппу движений.

Для обозначения подобия используется значок ~. 

• Конгруэнтность (геометрия)
• Конформное отображение
• Признаки подобия треугольников
• Симметрия
• Самоподобие

• Равенство и подобие геометрических фигур