Подмодуль

Подмодуль ― подмножество модуля, являющееся подгруппой его аддитивной группы и замкнутое относительно умножения на элементы основного кольца. В частности, левый (правый) идеал кольца является подмодулем левого (правого) -модуля .


Связанные определения

  • Подмодуль, отличный от всего модуля, называется собственным.
  • Подмодуль называется больши́м (или существенным), если он имеет ненулевое пересечение с любым другим ненулевым подмодулем.
    • Например, целые числа образуют большой подмодуль группы рациональных чисел.
  • Каждый модуль является большим подмодулем своей инъективной оболочки.
  • Подмодуль   модуля   называется малым (или косущественным), если для любого подмодуля   равенство   влечет  .
    • Малым оказывается, например, всякий собственный подмодуль цепного модуля.

Свойства

  • Множество подмодулей данного модуля, упорядоченное по включению, является полной дедекиндовой решёткой.
  • Сумма всех малых подмодулей совпадает с пересечением всех максимальных подмодулей.
  • Левый идеал   принадлежит радикалу Джекобсона тогда и только тогда, когда   мал в   для всякого конечно порождённого левого модуля  .
  • Элементы малого подмодуля являются необразующими, то есть любая система образующих модуля остается таковой после удаления любого из этих элементов (это, конечно, не означает, что их можно удалить все сразу!).
  • Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов модуля совпадает с множеством эндоморфизмов, имеющих малый образ.
  • Если   ― гомоморфизм модуля   в модуль  , то множество
         
    оказывается подмодулем модуля   и называется ядром гомоморфизма  .
    • Каждый подмодуль служит ядром некоторого гомоморфизма.

Литература

  • Каш Ф. Модули и кольца, — пер. с нем., М., 1981;
  • Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, — пер. с англ., т. 1—2, М., 1977—79.