Подмногообразие

Разделы:
- Алгебраическая геометрия

Подмногообразие ― термин используемый для нескольких схожих понятий в общей топологии и дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.

Содержание

Топологическое подмногообразие

В узком смысле слова топологическое n {displaystyle n }

$n$ -мерное подмногообразие N {displaystyle N } ${displaystyle N }$ топологического m{displaystyle m} $m$ -мерного многообразия M {displaystyle M } $M$ ― такое подмножество N⊂M{displaystyle Nsubset M} $Nsubset M$ ,которое в индуцированной топологии является n {displaystyle n } $n$ -мерным многообразием.

В широком смысле слова топологическое n {displaystyle n }

$n$ -мерное подмногообразие топологического m {displaystyle m } $m$ -мерного многообразия M {displaystyle M } $M$ ― такое n {displaystyle n } $n$ -мерное многообразие N {displaystyle N } ${displaystyle N }$ , которое как множество точек является подмножеством M {displaystyle M } $M$ (иными словами, N {displaystyle N } ${displaystyle N }$ ― это подмножество M {displaystyle M } $M$ , снабженное структурой n {displaystyle n } $n$ -мерного многообразия) и для которого тождественное вложение i:N→M{displaystyle i:Nto M} $i:Nto M$ является погружением.

Подмногообразие в узком смысле является подмногообразиями в широком смысле, а последнее является подмногообразием в узком смысле тогда и только тогда, когда i {displaystyle i }

$i$ есть вложение в топологическом смысле (т. е. у каждой точки p∈N{displaystyle pin N} $pin N$ имеется сколь угодно малые окрестности в N {displaystyle N } ${displaystyle N }$ , являющиеся пересечениями с N {displaystyle N } ${displaystyle N }$ некоторыхокрестностей в M {displaystyle M } $M$ ).

Связанные определения

Число m−n {displaystyle m-n } ${displaystyle m-n }$ называется коразмерностью подмногообразия N {displaystyle N } ${displaystyle N }$ .
Подмножество N⊂M{displaystyle Nsubset M} $Nsubset M$ является локально плоским подмногообразием, если для каждой точки p∈N{displaystyle pin N} $pin N$ имеются такая окрестность U {displaystyle U } ${displaystyle U }$ этой точки в M{displaystyle M} $M$ и такие локальные координаты x1,x2,…,xm{displaystyle x_{1},x_{2},…,x_{m}} $x_{1},x_{2},...,x_{m}$ в ней, что в терминах этих координат N∩U{displaystyle Ncap U} $Ncap U$ описывается уравнениями xn+1=xn+2=…=xm=0{displaystyle x_{n+1}=x_{n+2}=…=x_{m}=0} $x_{{n+1}}=x_{{n+2}}=...=x_{{m}}=0$ .

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии подмногообразие ― замкнутое подмножество алгебраического многообразия в топологии Зариского.

Этим формализуется идея, что подмногообразие задаетсяалгебраическим уравнениями. Помимо перехода от R{displaystyle mathbb {R} }

$mathbb {R}$ к другим полям, изменение понятия подмногообразие в этом случае состоит в том, что допускаются подмногообразия с особенностями.