Поворот

• неподвижная точка называется центром вращения, неподвижная прямая называется осью вращения и т. д.

• Вращение плоскости (пространства) называется собственным (вращение первого рода) или несобственным (вращение второго рода) в зависимости от того, сохраняет оно или нет ориентацию плоскости (пространства).
  • Несобственное вращение нельзя сделать малым (в смысле расстояния между каждой точкой и ее образом), собственное — можно сделать сколь угодно малым для любой ограниченной области пространства (то есть можно подобрать для ограниченной области сколь угодно малое собственное вращение).

Несобственное вращение является композицией некоторого зеркального отражения (на плоскости — осевой симметрии, в пространстве нечётной размерности — центральной) и собственного вращения.

В планиметрии на плоскости собственное вращение в прямоугольных декартовых координатах выражается формулами (поворот около точки ${\displaystyle O}$  на угол ${\displaystyle \alpha }$  обозначается также ${\displaystyle R_{O}^{\alpha }}$ ):

${\displaystyle x'=x\cos \varphi -y\sin \varphi ,}$ 

${\displaystyle y'=x\sin \varphi +y\cos \varphi ,}$ 

где ${\displaystyle \varphi }$  — угол поворота (чаще всего в радианах^[1]), а центр вращения выбран в начале координат. При тех же условиях несобственное вращение плоскости выражается формулой

${\displaystyle x'=x\cos \varphi +y\sin \varphi ,}$ 

${\displaystyle y'=x\sin \varphi -y\cos \varphi .}$ 

Если углы поворотов ${\displaystyle \alpha ,\beta }$  и их сумма ${\displaystyle \alpha +\beta }$  заключены в пределах от ${\displaystyle -2\pi }$  до ${\displaystyle 2\pi ,}$  то при последовательном выполнении (композиции) поворотов их углы складываются (см. также #Композиция поворотов на плоскости (комплексный вид)):

${\displaystyle R_{O}^{\beta }\circ R_{O}^{\alpha }=R_{O}^{\alpha +\beta }}$ 

Матричный вид

При использовании матричного подхода точку ${\displaystyle (x,y)}$  записывают в виде вектора, затем умножают на матрицу:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$ .

${\displaystyle (x',y')}$  координаты точки, полученные вращением точки ${\displaystyle (x,y)}$ .

Векторы ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$  и ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}}$  имеют одинаковую размерность.

Комплексный вид

Точку можно вращать с помощью комплексных чисел. Множество всех этих чисел геометрически представляет собой двумерную плоскость. Точка ${\displaystyle (x,y)}$  на плоскости представлена комплексным числом ${\displaystyle ~z=x+iy}$ .

Вращение точки на угол ${\displaystyle \theta }$  можно осуществить умножением ${\displaystyle e^{i\theta }}$ , используя формулу Эйлера

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=(x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta )\\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x'+iy',\end{aligned}}}$ 

что дает такой же результат,

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}}$ 

Композиция поворотов на плоскости (комплексный вид)

Пусть совершается вначале поворот вокруг точки ${\displaystyle a}$  на угол ${\displaystyle \alpha }$ , затем поворот вокруг точки ${\displaystyle b}$  на угол ${\displaystyle \beta }$ . И пусть точки ${\displaystyle a}$  и ${\displaystyle b}$  представлены в виде комплексных чисел вида ${\displaystyle x+iy}$ . Положительным считается поворот против часовой стрелки. Такая композиция поворотов эквивалентна повороту на угол ${\displaystyle \gamma ~=\alpha +\beta }$  вокруг точки ${\displaystyle c}$ , которая вычисляется по формуле ${\displaystyle ~c=a+(b-a)e^{i{\alpha '}}{\frac {\sin \alpha '}{\sin \gamma '}}}$ ,

где ${\displaystyle \alpha '={\frac {\alpha }{2}}}$ , а ${\displaystyle \gamma '={\frac {\gamma }{2}}}$ 

Если ${\displaystyle \alpha +\beta =0}$ , то композиция поворотов эквивалентна параллельному сдвигу плоскости на вектор ${\displaystyle r=(b-a)(e^{i\alpha }-1)}$ 

• Если репер привязан к центру вращения, то реализуется ортогональной матрицей.
  • Вращения трехмерного евклидова пространства (с фиксированным центром) образуют группу O(3) (собственные — группу SO(3)).
  • Вращения двумерного пространства (плоскости) образуют соответственно группы O(2) и SO(2) (изоморфную U(1)).

• Ортогональное преобразование
• Ортогональная матрица
• Ортогональная группа
• Специальная ортогональная группа
• Группа вращений
• Матрица поворота
• Вращательное движение — процесс непрерывного поворота в механике.
• Угловая скорость