Поверхность вращения

• Сфера
• Тор
• Круговая цилиндрическая поверхность
• Круговая коническая поверхность
• Катеноид

Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это утверждение называется второй шаблон не поддерживает такой синтаксис, или теоремой Паппа о центроиде.

Например, для тора с радиусами ${\displaystyle r,R\,}$ , площадь поверхности равна

${\displaystyle S=(2\pi r)\cdot (2\pi R)=4\pi ^{2}rR}$ .

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой ${\displaystyle y=f(x),\ a\leq x\leq b}$  вокруг оси ${\displaystyle 0x\,}$  можно вычислить по формуле

${\displaystyle S=2\pi \int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left(f'(x)\right)^{2}}}dx}$ 

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой ${\displaystyle x=x(t),\ y=y(t),\ \alpha \leq t\leq \beta }$  вокруг оси ${\displaystyle 0x\,}$  можно вычислить по формуле

${\displaystyle S=2\pi \int \limits _{\alpha }^{\beta }y(t){\sqrt {\left(x'(t)\right)^{2}+\left(y'(t)\right)^{2}}}dt}$ 

Объём ограниченный поверхностью вращения, образованной вращением плоской замкнутой несамопересекающейся кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равен произведению площади плоской фигуры, ограниченной кривой, на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра тяжести плоской фигуры.

Объём поверхности вращения, образованной вращением кривой ${\displaystyle y=f(x),\ a\leq x\leq b}$  вокруг оси ${\displaystyle 0x\,}$  можно вычислить по формуле

${\displaystyle V=\pi \int \limits _{a}^{b}f^{2}(x)dx}$