Площадь фигуры

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:

Положительность — площадь неотрицательна;
Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура $F$ называется квадрируемой, если для любого $\varepsilon >0$ существует пара многоугольников $P$ и $Q$ , такие что $P\subset F\subset Q$ и $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ , где $S(P)$ обозначает площадь $P$ .

Связанные определения

Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа).

Площади некоторых фигур

Формулы для нахождения площадей различных фигур

Фигура	Формула	Комментарий
Правильный треугольник	${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!$	$a$ — длина стороны треугольника.
Треугольник	${\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\,\!$	Формула Герона. $p$ — полупериметр, $a$ , $b$ и $c$ — длины сторон треугольника.
Треугольник	${\tfrac {1}{2}}ab\sin(\alpha )\,\!$	$a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними.
Треугольник	${\tfrac {1}{2}}bh\,\!$	$b$ и $h$ — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат	$a^{2}\,\!$	$a$ — длина стороны квадрата.
Прямоугольник	$ab\,\!$	$a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника.
Ромб	$a^{2}\sin \alpha ,{\tfrac {1}{2}}bc$	$a$ — сторона ромба, $\alpha$ — внутренний угол, $b,c$ — диагонали.
Параллелограмм	$bh\,\!$	$b$ — длина одной из сторон параллелограмма, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция	${\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!$	$a$ и $b$ — длины параллельных сторон, а $h$ — расстояние между ними (высота).
Правильный шестиугольник	${\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!$	$a$ — длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник	$2\left(1+{\sqrt {2}}\right)a^{2}\,\!$	$a$ — длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник	${\frac {na^{2}}{4\cdot \tan(\pi /n)}}\,\!$	$a$ — длина стороны многоугольника, а $n$ — количество сторон многоугольника.
Правильный многоугольник	${\tfrac {1}{2}}ap\,\!$	$a$ — апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а $p$ — периметр многоугольника.
Круг	$\pi r^{2}$ или ${\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!$	$r$ — радиус окружности, а $d$ — её диаметр.
Сектор круга	${\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta \,\!$	$r$ и $\theta$ — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс	$\pi ab\,\!$	$a$ и $b$ — большая и малая полуоси эллипса.
Поверхность Цилиндра	$2\pi r(r+h)\,\!$	$r$ и $h$ — радиус и высота цилиндра соответственно.
Боковая поверхность цилиндра	$2\pi rh\,\!$	$r$ и $h$ — радиус и высота цилиндра соответственно.
Поверхность конуса	$\pi r(r+l)\,\!$	$r$ и $l$ — радиус и длина образующей соответственно.
Боковая поверхность конуса	$\pi rl\,\!$	$r$ и $l$ — радиус и длина образующей соответственно.
Поверхность сферы	$4\pi r^{2}\ {\text{,}}\ \pi d^{2}\,\!$	$r$ и $d$ — радиус и диаметр соответственно.
Поверхность эллипсоида		См. статью.

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
$S={\frac {1}{2}}ah$

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:
$S=ab$

Площадь произвольного четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними:
$S_{ABCD}={\frac {1}{2}}AC\cdot BD\cdot \sin \beta$ ,

где

\beta

— угол между диагоналями.

Площадь ромба ABCD равна половине произведения диагоналей:
$S_{ABCD}={\frac {1}{2}}AC\cdot BD$

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $S=ah$

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
$S={\frac {a+b}{2}}\cdot h$

См. также

Площадь
Мера Бореля
Мера Жордана
Мера Лебега
Ориентированная площадь
Площадь поверхности
Теорема Бойяи — Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников
Исчезновение клетки

Ссылки

В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977
Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.