Период полураспада

Разделы:

.ts-Боковая_навигационная_таблица-preTitle{padding-top:0}.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-image{padding:0.4em 0 0.4em}.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-title{padding:0.2em 0.4em 0.2em;font-size:125%;line-height:1.15em;font-weight:bold;background:#cfe3ff}.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-above,.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-below{padding:0.2em 0.4em 0.2em;font-weight:bold}.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-heading{padding:0.2em 0;font-weight:bold;background:#eaf3ff}.mw-parser-output .ts-Боковая_навигационная_таблица-list{padding:0.2em 0}]]>

Пери́од полураспа́да квантовомеханической системы (частицы, ядра, атома, энергетического уровня и т. д.) — время T1/2{displaystyle T_{1/2}} $T_{{1/2}}$ , в течение которого система распадается с вероятностью 1/2. Если рассматривается ансамбль независимых частиц, то в течение одного периода полураспада количество выживших частиц уменьшится в среднем в 2 раза. Термин применим только к экспоненциально распадающимся системам.

На практике период полураспада определяют, измеряя активность исследуемого препарата через определённые промежутки времени. Учитывая, что активность препарата пропорциональна количеству атомов распадающегося вещества, и воспользовавшись законом радиоактивного распада, можно вычислить период полураспада данного вещества[1].

Содержание

Определение и основные соотношения

Не следует считать, что за два периода полураспада распадутся все частицы, взятые в начальный момент. Поскольку каждый период полураспада уменьшает число выживших частиц вдвое, за время 2T1/2{displaystyle 2T_{1/2}} ${displaystyle 2T_{1/2}}$ останется четверть от начального числа частиц, за 3T1/2{displaystyle 3T_{1/2}} ${displaystyle 3T_{1/2}}$ — одна восьмая и т. д. Вообще, доля выживших частиц (или, точнее, вероятность выживания p{displaystyle p} $p$ для данной частицы) зависит от времени t{displaystyle t} $t$ следующим образом:

N(t)N0≈p(
t)=2−t/T1/2.{displaystyle {frac {N(t)}{N_{0}}}approx p(t)=2^{-t/T_{1/2}}.}

{displaystyle {frac {N(t)}{N_{0}}}approx p(t)=2^{-t/T_{1/2}}.}

Период полураспада, среднее время жизни τ{displaystyle tau } $tau$ и постоянная распада λ{displaystyle lambda } $lambda$ связаны следующими соотношениями, полученными из закона радиоактивного распада:

T1/2=τln⁡2=ln⁡2λ.{displaystyle T_{1/2}=tau ln 2={frac {ln 2}{lambda }}.}

{displaystyle T_{1/2}=tau ln 2={frac {ln 2}{lambda }}.}

Поскольку ln⁡2=0,693…{displaystyle ln 2=0,693dots } $ln 2=0,693dots$ , период полураспада примерно на 30,7 % короче, чем среднее время жизни.

Примеры расчётов

Пример 1

Если обозначить для данного момента времени число ядер, способных к радиоактивному превращению, через N{displaystyle N} $N$ , а промежуток времени через t2−t1{displaystyle t_{2}-t_{1}} ${displaystyle t_{2}-t_{1}}$ , где t1{displaystyle t_{1}} $t_{1}$ и t2{displaystyle t_{2}} $t_{2}$ — достаточно близкие моменты времени (t1<t2){displaystyle (t_{1}<t_{2})} ${displaystyle (t_{1}<t_{2})}$ , и число разлагающихся атомных ядер в этот отрезок времени через n{displaystyle n} $n$ , то n=KN(t2−t1){displaystyle n=KN(t_{2}-t_{1})} ${displaystyle n=KN(t_{2}-t_{1})}$ , где коэффициент пропорциональности K=0,693T1/2{displaystyle K={0,693 over T_{1/2}}} ${displaystyle K={0,693 over T_{1/2}}}$ носит название константы распада. Если принять разность (t2−t1{displaystyle t_{2}-t_{1}} ${displaystyle t_{2}-t_{1}}$ ) равной единице, то есть интервал времени наблюдения равным единице, то K=n/N{displaystyle K=n/N} ${displaystyle K=n/N}$ и, следовательно, константа распада показывает долю от наличного числа атомных ядер, испытывающих распад в единицу времени. Следовательно, распад совершается так, что в единицу времени распадается одна и та же доля от наличного числа атомных ядер, что определяет закон экспоненциального распада.

Величины периодов полураспада для различных изотопов различны; для некоторых, особенно быстро распадающихся, период полураспада может быть равным миллионным долям секунды, а для некоторых изотопов, как уран-238 и торий-232, он соответственно равен 4,498⋅109 и 1,389⋅1010 лет. Легко подсчитать число атомов урана-238, испытывающих превращение в данном количестве урана, например, в одном килограмме в
течение одной секунды. Количество любого элемента в граммах, численно равное атомному весу, содержит, как известно, 6,02⋅1023 атомов. Поэтому согласно приведённой выше формуле n=KN(t2−t1){displaystyle n=KN(t_{2}-t_{1})} ${displaystyle n=KN(t_{2}-t_{1})}$ найдём число атомов урана, распадающихся в одном килограмме в одну секунду, имея в виду, что в году 365*24*60*60 секунд,

0,6934,498⋅109⋅365⋅24⋅60⋅606,02⋅1023238⋅1000=12⋅106.{displaystyle {frac {0,693}{4,498cdot 10^{9}cdot 365cdot 24cdot 60cdot 60}}{frac {6,02cdot 10^{23}}{238}}cdot 1000=12cdot 10^{6}.}

{displaystyle {frac {0,693}{4,498cdot 10^{9}cdot 365cdot 24cdot 60cdot 60}}{frac {6,02cdot 10^{23}}{238}}cdot 1000=12cdot 10^{6}.}

Вычисления приводят к тому, что в одном килограмме урана в течение одной секунды распадается двенадцать миллионов атомов. Несмотря на такое огромное число, всё же скорость превращения ничтожно мала. Действительно, в секунду распадается следующая часть урана:

12⋅106⋅2386,02⋅1023⋅1000=47⋅10−19.{displaystyle {frac {12cdot 10^{6}cdot 238}{6,02cdot 10^{23}cdot 1000}}=47cdot 10^{-19}.}

{displaystyle {frac {12cdot 10^{6}cdot 238}{6,02cdot 10^{23}cdot 1000}}=47cdot 10^{-19}.}

Таким образом, из наличного количества урана в одну секунду распадается его доля, равная

4710000000000000000000.{displaystyle 47 over 10000000000000000000.}

{displaystyle 47 over 10000000000000000000.}

Обращаясь опять к основному закону радиоактивного распада KN(t2 — t1), то есть к тому факту, что из наличного числа атомных ядер в единицу времени распадается всего одна и та же их доля и, имея к тому же ввиду полную независимость атомных ядер в каком-либо веществе друг от друга, можно сказать, что этот закон является статистическим в том смысле, что он не указывает какие именно атомные ядра подвергнутся распаду в данный отрезок времени, а лишь говорит об их числе. Несомненно, этот закон сохраняет силу лишь для того случая, когда наличное число ядер очень велико. Некоторые из атомных ядер распадутся в ближайший момент, в то время как другие ядра будут претерпевать превращения значительно позднее, поэтому когда наличное число радиоактивных атомных ядер сравнительно невелико, закон радиоактивного распада может и не выполняться во всей строгости.

Пример 2

Образец содержит 10 г изотопа плутония Pu-239 с периодом полураспада 24 400 лет. Сколько атомов плутония распадается ежесекундно?

N(t)=N0⋅2−t/T1/2.{displaystyle N(t)=N_{0}cdot 2^{-t/T_{1/2}}.}

{displaystyle N(t)=N_{0}cdot 2^{-t/T_{1/2}}.}

dNdt=−N0ln⁡2T1/2⋅2−t/T1/2=−Nln⁡2T1/2.{displaystyle {frac {dN}{dt}}=-{frac {N_{0}ln 2}{T_{1/2}}}cdot 2^{-t/T_{1/2}}=-{frac {Nln 2}{T_{1/2}}}.}

{frac {dN}{dt}}=-{frac {N_{0}ln 2}{T_{{1/2}}}}cdot 2^{{-t/T_{{1/2}}}}=-{frac {Nln 2}{T_{{1/2}}}}.

N=mμNA=10239⋅6⋅1023=2.5⋅1022.{displaystyle N={frac {m}{mu }}N_{A}={frac {10}{239}}cdot 6cdot 10^{23}=2.5cdot 10^{22}.}

{displaystyle N={frac {m}{mu }}N_{A}={frac {10}{239}}cdot 6cdot 10^{23}=2.5cdot 10^{22}.}

T1/2=24400⋅365.24⋅24⋅3600=7.7⋅1011s.{displaystyle T_{1/2}=24400cdot 365.24cdot 24cdot 3600=7.7cdot 10^{11}s.}

{displaystyle T_{1/2}=24400cdot 365.24cdot 24cdot 3600=7.7cdot 10^{11}s.}

dNdt=Nln⁡2T1/2=2.5⋅1022⋅0.6937.7⋅1011=2.25⋅1010 s−1.{displaystyle {frac {dN}{dt}}={frac {Nln 2}{T_{1/2}}}={frac {2.5cdot 10^{22}cdot 0.693}{7.7cdot 10^{11}}}=2.25cdot 10^{10}~s^{-1}.}

{frac {dN}{dt}}={frac {Nln 2}{T_{{1/2}}}}={frac {2.5cdot 10^{{22}}cdot 0.693}{7.7cdot 10^{{11}}}}=2.25cdot 10^{{10}}~s^{{-1}}.

Мы вычислили мгновенную скорость распада. Количество распавшихся атомов вычислим по формуле

ΔN=Δt⋅dNdt=1⋅2.25⋅1010=2.25⋅1010.{displaystyle Delta N=Delta tcdot {frac {dN}{dt}}=1cdot 2.25cdot 10^{10}=2.25cdot 10^{10}.}

Delta N=Delta tcdot {frac {dN}{dt}}=1cdot 2.25cdot 10^{{10}}=2.25cdot 10^{{10}}.

Последняя формула действительна только тогда, когда рассматриваемый период времени (в данном случае — 1 секунда) значительно меньше,
чем период полураспада. Когда рассматриваемый период времени сравним с периодом полураспада, следует пользоваться формулой

ΔN=N0−N(t)=N0(1−2−t/T1/2).{displaystyle Delta N=N_{0}-N(t)=N_{0}left(1-2^{-t/T_{1/2}}right).}

Delta N=N_{0}-N(t)=N_{0}left(1-2^{{-t/T_{{1/2}}}}right).

Эта формула пригодна в любом случае, однако для малых периодов времени требует вычислений с очень большой точностью. Для данной задачи:

ΔN=N0(1−2−t/T1/2)=2.5⋅1022(1−2−1/7.7⋅1011)=2.5⋅1022(1−0.99999999999910)=2.25⋅1010.{displaystyle Delta N=N_{0}left(1-2^{-t/T_{1/2}}right)=2.5cdot 10^{22}left(1-2^{-1/7.7cdot 10^{11}}right)=2.5cdot 10^{22}left(1-0.99999999999910right)=2.25cdot 10^{10}.}

Delta N=N_{0}left(1-2^{{-t/T_{{1/2}}}}right)=2.5cdot 10^{{22}}left(1-2^{{-1/7.7cdot 10^{{11}}}}right)=2.5cdot 10^{{22}}left(1-0.99999999999910right)=2.25cdot 10^{{10}}.

Парциальный период полураспада

Если система с периодом полураспада T1/2{displaystyle T_{1/2}} $T_{{1/2}}$ может распадаться по нескольким каналам, для каждого из них можно определить парциальный период полураспада. Пусть вероятность распада по i-му каналу (коэффициент ветвления) равна pi{displaystyle p_{i}} $p_{i}$ . Тогда парциальный период полураспада по i-му каналу равен

T1/2(i)=T1/2pi.{displaystyle T_{1/2}^{(i)}={frac {T_{1/2}}{p_{i}}}.}

{displaystyle T_{1/2}^{(i)}={frac {T_{1/2}}{p_{i}}}.}

Парциальный T1/2(i){displaystyle T_{1/2}^{(i)}} $T_{{1/2}}^{{(i)}}$ имеет смысл периода полураспада, который был бы у данной системы, если «выключить» все каналы распада, кроме i-го. Так как по определению pi≤1{displaystyle p_{i}leq 1} $p_{i}leq 1$ , то T1/2(i)≥T1/2{displaystyle T_{1/2}^{(i)}geq T_{1/2}} $T_{{1/2}}^{{(i)}}geq T_{{1/2}}$ для любого канала распада.

Стабильность периода полураспада

Во всех наблюдавшихся случаях (кроме некоторых изотопов, распадающихся путём электронного захвата) период полураспада был постоянным (отдельные сообщения об изменении периода были вызваны недостаточной точностью эксперимента, в частности, неполной очисткой от высокоактивных изотопов). В связи с этим период полураспада считается неизменным. На этом основании строится определение абсолютного геологического возраста горных пород, а также радиоуглеродный метод определения возраста биологических останков.

Предположение об изменяемости периода полураспада используется креационистами, а также представителями т. н. «альтернативной науки» для опровержения научной датировки горных пород, остатков живых существ и исторических находок, с целью дальнейшего опровержения научных теорий, построенных с использованием такой датировки. (См., например, статьи Креационизм, Научный креационизм, Критика эволюционизма, Туринская плащаница).

Вариабельность постоянной распада для электронного захвата наблюдалась в эксперименте, но она лежит в пределах процента во всём доступном в лаборатории диапазоне давлений и температур. Период полураспада в этом случае изменяется в связи с некоторой (довольно слабой) зависимостью плотности волновой функции орбитальных электронов в окрестности ядра от давления и температуры. Существенные изменения постоянной распада наблюдались также для сильно ионизованных атомов (так, в предельном случае полностью ионизованного ядра электронный захват может происходить только при взаимодействии ядра со свободными электронами плазмы; кроме того, распад, разрешённый для нейтральных атомов, в некоторых случаях для сильно ионизованных атомов может быть запрещён кинематически). Все эти варианты изменения постоянных распада, очевидно, не могут быть привлечены для «опровержения» радиохронологических датировок, поскольку погрешность самого радиохронометрического метода для большинства изотопов-хронометров составляет более процента, а высокоионизованные атомы в природных объектах на Земле не могут существовать сколько-нибудь длительное время.

Поиск возможных вариаций периодов полураспада радиоактивных изотопов, как в настоящее время, так и в течение миллиардов лет, интересен в связи с гипотезой о вариациях значений фундаментальных констант в физике (постоянной тонкой структуры, константы Ферми и т. д.). Однако тщательные измерения пока не принесли результата — в пределах погрешности эксперимента изменения периодов полураспада не были найдены. Так, было показано, что за 4,6 млрд лет константа α-распада самария-147 изменилась не более чем на 0,75 %, а для β-распада рения-187 изменение за это же время не превышает 0,5 %[2]; в обоих случаях результаты совместимы с отсутствием таких изменений вообще.

См. также

Период полураспада:

Примечания

↑ Фиалков Ю. Я. Применение изотопов в химии и химической промышленности. — К.: Техніка, 1975. — С. 52. — 240 с. — 2000 экз.
↑ Jean-Philippe Uzan. The fundamental constants and their variation: observational status and theoretical motivations. Rev.Mod.Phys. 75(2003)403. arXiv: hep-ph/0205340.